Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34280 / 21738
↖ ↑ ↗
← N 51.692990°
E  8.305664°		 ← 378.65 m → N 51.692990°
E  8.311157°		 →
↑
378.63 m
↓
↑
378.63 m
↓
N 51.689585°
E  8.305664°		 ← 378.68 m →
143 374 m²		 N 51.689585°
E  8.311157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523078918457031 y=0.331703186035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523078918457031 × 216)
    floor (0.523078918457031 × 65536)
    floor (34280.5)     		tx = 34280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331703186035156 × 216)
    floor (0.331703186035156 × 65536)
    floor (21738.5)     		ty = 21738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34280 / 21738 ti = "16/34280/21738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34280/21738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34280 ÷ 216
    34280 ÷ 65536     		x = 0.5230712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21738 ÷ 216
    21738 ÷ 65536     		y = 0.331695556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5230712890625 × 2 - 1) × π
    0.046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14496118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331695556640625 × 2 - 1) × π
    0.33660888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05748800561844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14496118} λ = 0.14496118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05748800561844))-π/2
    2×atan(2.87912954060686)-π/2
    2×1.23650460308395-π/2
    2.47300920616789-1.57079632675     		φ = 0.90221288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14496118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90221288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.692990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34280 KachelY 21738 0.14496118 0.90221288 8.305664 51.692990
    Oben rechts KachelX + 1 34281 KachelY 21738 0.14505706 0.90221288 8.311157 51.692990
    Unten links KachelX 34280 KachelY + 1 21739 0.14496118 0.90215345 8.305664 51.689585
    Unten rechts KachelX + 1 34281 KachelY + 1 21739 0.14505706 0.90215345 8.311157 51.689585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90221288-0.90215345) × R
    5.94299999999715e-05 × 6371000     		dl = 378.628529999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90221288-0.90215345) × R
    5.94299999999715e-05 × 6371000     		dr = 378.628529999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14496118-0.14505706) × cos(0.90221288) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.619875039272588 × 6371000     		do = 378.651585154689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14496118-0.14505706) × cos(0.90215345) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.619921672930909 × 6371000     		du = 378.680071393893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90221288)-sin(0.90215345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619875039272588-0.619921672930909)×R²
    abs(0.14505706-0.14496118)×4.66336583209159e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66336583209159e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66336583209159e-05×40589641000000     		ar = 143373.685962912m²