Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3428 / 1101
↖ ↑ ↗
← N 78.516827°
W 29.355469°		 ← 972.80 m → N 78.516827°
W 29.311523°		 →
↑
973.17 m
↓
↑
973.17 m
↓
N 78.508075°
W 29.355469°		 ← 973.54 m →
947 060 m²		 N 78.508075°
W 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41851806640625 y=0.13446044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41851806640625 × 213)
    floor (0.41851806640625 × 8192)
    floor (3428.5)     		tx = 3428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13446044921875 × 213)
    floor (0.13446044921875 × 8192)
    floor (1101.5)     		ty = 1101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3428 / 1101 ti = "13/3428/1101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3428/1101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3428 ÷ 213
    3428 ÷ 8192     		x = 0.41845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1101 ÷ 213
    1101 ÷ 8192     		y = 0.1343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41845703125 × 2 - 1) × π
    -0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1343994140625 × 2 - 1) × π
    0.731201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29713622979309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51234958} λ = -0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29713622979309))-π/2
    2×atan(9.94565954927934)-π/2
    2×1.4705867397324-π/2
    2.9411734794648-1.57079632675     		φ = 1.37037715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37037715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.516827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3428 KachelY 1101 -0.51234958 1.37037715 -29.355469 78.516827
    Oben rechts KachelX + 1 3429 KachelY 1101 -0.51158259 1.37037715 -29.311523 78.516827
    Unten links KachelX 3428 KachelY + 1 1102 -0.51234958 1.37022440 -29.355469 78.508075
    Unten rechts KachelX + 1 3429 KachelY + 1 1102 -0.51158259 1.37022440 -29.311523 78.508075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37037715-1.37022440) × R
    0.000152750000000035 × 6371000     		dl = 973.170250000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37037715-1.37022440) × R
    0.000152750000000035 × 6371000     		dr = 973.170250000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51234958--0.51158259) × cos(1.37037715) × R
    0.000766990000000023 × 0.199080134495902 × 6371000     		do = 972.803741386553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51234958--0.51158259) × cos(1.37022440) × R
    0.000766990000000023 × 0.199229824608759 × 6371000     		du = 973.535201118609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37037715)-sin(1.37022440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199080134495902-0.199229824608759)×R²
    abs(-0.51158259--0.51234958)×0.000149690112857093×R²
    0.000766990000000023×0.000149690112857093×6371000²
    0.000766990000000023×0.000149690112857093×40589641000000     		ar = 947059.579474809m²