Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34279 / 34789
↖ ↑ ↗
← S 11.032864°
E  8.300171°		 ← 599.50 m → S 11.032864°
E  8.305664°		 →
↑
599.51 m
↓
↑
599.51 m
↓
S 11.038255°
E  8.300171°		 ← 599.49 m →
359 403 m²		 S 11.038255°
E  8.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523063659667969 y=0.530845642089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523063659667969 × 216)
    floor (0.523063659667969 × 65536)
    floor (34279.5)     		tx = 34279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530845642089844 × 216)
    floor (0.530845642089844 × 65536)
    floor (34789.5)     		ty = 34789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34279 / 34789 ti = "16/34279/34789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34279/34789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34279 ÷ 216
    34279 ÷ 65536     		x = 0.523056030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34789 ÷ 216
    34789 ÷ 65536     		y = 0.530838012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523056030273438 × 2 - 1) × π
    0.046112060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14486531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530838012695312 × 2 - 1) × π
    -0.061676025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.193760948264267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14486531} λ = 0.14486531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.193760948264267))-π/2
    2×atan(0.823854824656385)-π/2
    2×0.689118263079283-π/2
    1.37823652615857-1.57079632675     		φ = -0.19255980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14486531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.300171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19255980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.032864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34279 KachelY 34789 0.14486531 -0.19255980 8.300171 -11.032864
    Oben rechts KachelX + 1 34280 KachelY 34789 0.14496118 -0.19255980 8.305664 -11.032864
    Unten links KachelX 34279 KachelY + 1 34790 0.14486531 -0.19265390 8.300171 -11.038255
    Unten rechts KachelX + 1 34280 KachelY + 1 34790 0.14496118 -0.19265390 8.305664 -11.038255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19255980--0.19265390) × R
    9.40999999999859e-05 × 6371000     		dl = 599.51109999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19255980--0.19265390) × R
    9.40999999999859e-05 × 6371000     		dr = 599.51109999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14486531-0.14496118) × cos(-0.19255980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981517577318919 × 6371000     		do = 599.498932266412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14486531-0.14496118) × cos(-0.19265390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981499564867425 × 6371000     		du = 599.487930481332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19255980)-sin(-0.19265390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981517577318919-0.981499564867425)×R²
    abs(0.14496118-0.14486531)×1.80124514941316e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80124514941316e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80124514941316e-05×40589641000000     		ar = 359402.966750856m²