Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34278 / 34787
↖ ↑ ↗
← S 11.022080°
E  8.294678°		 ← 599.52 m → S 11.022080°
E  8.300171°		 →
↑
599.57 m
↓
↑
599.57 m
↓
S 11.027472°
E  8.294678°		 ← 599.51 m →
359 454 m²		 S 11.027472°
E  8.300171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523048400878906 y=0.530815124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523048400878906 × 216)
    floor (0.523048400878906 × 65536)
    floor (34278.5)     		tx = 34278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530815124511719 × 216)
    floor (0.530815124511719 × 65536)
    floor (34787.5)     		ty = 34787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34278 / 34787 ti = "16/34278/34787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34278/34787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34278 ÷ 216
    34278 ÷ 65536     		x = 0.523040771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34787 ÷ 216
    34787 ÷ 65536     		y = 0.530807495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523040771484375 × 2 - 1) × π
    0.04608154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14476944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530807495117188 × 2 - 1) × π
    -0.061614990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.193569200665787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14476944} λ = 0.14476944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.193569200665787))-π/2
    2×atan(0.824012811986871)-π/2
    2×0.689212366624434-π/2
    1.37842473324887-1.57079632675     		φ = -0.19237159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14476944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.294678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19237159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.022080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34278 KachelY 34787 0.14476944 -0.19237159 8.294678 -11.022080
    Oben rechts KachelX + 1 34279 KachelY 34787 0.14486531 -0.19237159 8.300171 -11.022080
    Unten links KachelX 34278 KachelY + 1 34788 0.14476944 -0.19246570 8.294678 -11.027472
    Unten rechts KachelX + 1 34279 KachelY + 1 34788 0.14486531 -0.19246570 8.300171 -11.027472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19237159--0.19246570) × R
    9.41099999999806e-05 × 6371000     		dl = 599.574809999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19237159--0.19246570) × R
    9.41099999999806e-05 × 6371000     		dr = 599.574809999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14476944-0.14486531) × cos(-0.19237159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981553578060166 × 6371000     		do = 599.520921078876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14476944-0.14486531) × cos(-0.19246570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981535581079262 × 6371000     		du = 599.509928743043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19237159)-sin(-0.19246570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981553578060166-0.981535581079262)×R²
    abs(0.14486531-0.14476944)×1.79969809042113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79969809042113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79969809042113e-05×40589641000000     		ar = 359454.347248286m²