Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34277 / 34786
↖ ↑ ↗
← S 11.016689°
E  8.289184°		 ← 599.59 m → S 11.016689°
E  8.294678°		 →
↑
599.51 m
↓
↑
599.51 m
↓
S 11.022080°
E  8.289184°		 ← 599.58 m →
359 460 m²		 S 11.022080°
E  8.294678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523033142089844 y=0.530799865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523033142089844 × 216)
    floor (0.523033142089844 × 65536)
    floor (34277.5)     		tx = 34277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530799865722656 × 216)
    floor (0.530799865722656 × 65536)
    floor (34786.5)     		ty = 34786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34277 / 34786 ti = "16/34277/34786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34277/34786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34277 ÷ 216
    34277 ÷ 65536     		x = 0.523025512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34786 ÷ 216
    34786 ÷ 65536     		y = 0.530792236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523025512695312 × 2 - 1) × π
    0.046051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14467356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530792236328125 × 2 - 1) × π
    -0.06158447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.193473326866547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14467356} λ = 0.14467356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.193473326866547))-π/2
    2×atan(0.824091817012974)-π/2
    2×0.689259419690912-π/2
    1.37851883938182-1.57079632675     		φ = -0.19227749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14467356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.289184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19227749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.016689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34277 KachelY 34786 0.14467356 -0.19227749 8.289184 -11.016689
    Oben rechts KachelX + 1 34278 KachelY 34786 0.14476944 -0.19227749 8.294678 -11.016689
    Unten links KachelX 34277 KachelY + 1 34787 0.14467356 -0.19237159 8.289184 -11.022080
    Unten rechts KachelX + 1 34278 KachelY + 1 34787 0.14476944 -0.19237159 8.294678 -11.022080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19227749--0.19237159) × R
    9.41000000000136e-05 × 6371000     		dl = 599.511100000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19227749--0.19237159) × R
    9.41000000000136e-05 × 6371000     		dr = 599.511100000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14467356-0.14476944) × cos(-0.19227749) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.981571564436803 × 6371000     		do = 599.594442862091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14467356-0.14476944) × cos(-0.19237159) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.981553578060166 × 6371000     		du = 599.583455857302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19227749)-sin(-0.19237159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981571564436803-0.981553578060166)×R²
    abs(0.14476944-0.14467356)×1.79863766374133e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.79863766374133e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.79863766374133e-05×40589641000000     		ar = 359460.230843772m²