Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34276 / 34804
↖ ↑ ↗
← S 11.113727°
E  8.283691°		 ← 599.33 m → S 11.113727°
E  8.289184°		 →
↑
599.38 m
↓
↑
599.38 m
↓
S 11.119117°
E  8.283691°		 ← 599.32 m →
359 227 m²		 S 11.119117°
E  8.289184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523017883300781 y=0.531074523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523017883300781 × 216)
    floor (0.523017883300781 × 65536)
    floor (34276.5)     		tx = 34276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531074523925781 × 216)
    floor (0.531074523925781 × 65536)
    floor (34804.5)     		ty = 34804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34276 / 34804 ti = "16/34276/34804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34276/34804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34276 ÷ 216
    34276 ÷ 65536     		x = 0.52301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34804 ÷ 216
    34804 ÷ 65536     		y = 0.53106689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52301025390625 × 2 - 1) × π
    0.0460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14457769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.0621337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.195199055252869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14457769} λ = 0.14457769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.195199055252869))-π/2
    2×atan(0.822670884795595)-π/2
    2×0.688412596778868-π/2
    1.37682519355774-1.57079632675     		φ = -0.19397113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14457769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.283691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19397113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.113727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34276 KachelY 34804 0.14457769 -0.19397113 8.283691 -11.113727
    Oben rechts KachelX + 1 34277 KachelY 34804 0.14467356 -0.19397113 8.289184 -11.113727
    Unten links KachelX 34276 KachelY + 1 34805 0.14457769 -0.19406521 8.283691 -11.119117
    Unten rechts KachelX + 1 34277 KachelY + 1 34805 0.14467356 -0.19406521 8.289184 -11.119117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19397113--0.19406521) × R
    9.40799999999964e-05 × 6371000     		dl = 599.383679999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19397113--0.19406521) × R
    9.40799999999964e-05 × 6371000     		dr = 599.383679999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14457769-0.14467356) × cos(-0.19397113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981246510833756 × 6371000     		do = 599.333368172417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14457769-0.14467356) × cos(-0.19406521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981228371906854 × 6371000     		du = 599.322289137705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19397113)-sin(-0.19406521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981246510833756-0.981228371906854)×R²
    abs(0.14467356-0.14457769)×1.81389269016119e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.81389269016119e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.81389269016119e-05×40589641000000     		ar = 359227.31973064m²