Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34275 / 34275
↖ ↑ ↗
← S  8.249547°
E  8.278199°		 ← 604.47 m → S  8.249547°
E  8.283691°		 →
↑
604.48 m
↓
↑
604.48 m
↓
S  8.254983°
E  8.278199°		 ← 604.46 m →
365 386 m²		 S  8.254983°
E  8.283691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523002624511719 y=0.523002624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523002624511719 × 216)
    floor (0.523002624511719 × 65536)
    floor (34275.5)     		tx = 34275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523002624511719 × 216)
    floor (0.523002624511719 × 65536)
    floor (34275.5)     		ty = 34275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34275 / 34275 ti = "16/34275/34275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34275/34275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34275 ÷ 216
    34275 ÷ 65536     		x = 0.522994995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34275 ÷ 216
    34275 ÷ 65536     		y = 0.522994995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522994995117188 × 2 - 1) × π
    0.045989990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14448182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522994995117188 × 2 - 1) × π
    -0.045989990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.144481815454849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14448182} λ = 0.14448182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144481815454849))-π/2
    2×atan(0.865470650450132)-π/2
    2×0.713407289999103-π/2
    1.42681457999821-1.57079632675     		φ = -0.14398175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14448182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.278199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14398175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.249547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34275 KachelY 34275 0.14448182 -0.14398175 8.278199 -8.249547
    Oben rechts KachelX + 1 34276 KachelY 34275 0.14457769 -0.14398175 8.283691 -8.249547
    Unten links KachelX 34275 KachelY + 1 34276 0.14448182 -0.14407663 8.278199 -8.254983
    Unten rechts KachelX + 1 34276 KachelY + 1 34276 0.14457769 -0.14407663 8.283691 -8.254983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14398175--0.14407663) × R
    9.48800000000194e-05 × 6371000     		dl = 604.480480000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14398175--0.14407663) × R
    9.48800000000194e-05 × 6371000     		dr = 604.480480000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14448182-0.14457769) × cos(-0.14398175) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989652522287348 × 6371000     		do = 604.467657162751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14448182-0.14457769) × cos(-0.14407663) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989638903995905 × 6371000     		du = 604.45933927689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14398175)-sin(-0.14407663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989652522287348-0.989638903995905)×R²
    abs(0.14457769-0.14448182)×1.36182914427518e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36182914427518e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36182914427518e-05×40589641000000     		ar = 365386.385820507m²