Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34274 / 34206
↖ ↑ ↗
← S  7.874264°
E  8.272705°		 ← 605.09 m → S  7.874264°
E  8.278199°		 →
↑
605.05 m
↓
↑
605.05 m
↓
S  7.879706°
E  8.272705°		 ← 605.08 m →
366 111 m²		 S  7.879706°
E  8.278199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522987365722656 y=0.521949768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522987365722656 × 216)
    floor (0.522987365722656 × 65536)
    floor (34274.5)     		tx = 34274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521949768066406 × 216)
    floor (0.521949768066406 × 65536)
    floor (34206.5)     		ty = 34206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34274 / 34206 ti = "16/34274/34206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34274/34206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34274 ÷ 216
    34274 ÷ 65536     		x = 0.522979736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34206 ÷ 216
    34206 ÷ 65536     		y = 0.521942138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522979736328125 × 2 - 1) × π
    0.04595947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14438594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521942138671875 × 2 - 1) × π
    -0.04388427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.137866523307281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14438594} λ = 0.14438594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137866523307281))-π/2
    2×atan(0.871214970878308)-π/2
    2×0.716682240915877-π/2
    1.43336448183175-1.57079632675     		φ = -0.13743184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14438594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.272705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13743184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.874264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34274 KachelY 34206 0.14438594 -0.13743184 8.272705 -7.874264
    Oben rechts KachelX + 1 34275 KachelY 34206 0.14448182 -0.13743184 8.278199 -7.874264
    Unten links KachelX 34274 KachelY + 1 34207 0.14438594 -0.13752681 8.272705 -7.879706
    Unten rechts KachelX + 1 34275 KachelY + 1 34207 0.14448182 -0.13752681 8.278199 -7.879706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13743184--0.13752681) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dl = 605.053869999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13743184--0.13752681) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dr = 605.053869999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14438594-0.14448182) × cos(-0.13743184) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.990571099407843 × 6371000     		do = 605.091822118637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14438594-0.14448182) × cos(-0.13752681) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.990558084086428 × 6371000     		du = 605.083871690288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13743184)-sin(-0.13752681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990571099407843-0.990558084086428)×R²
    abs(0.14448182-0.14438594)×1.30153214156215e-05×R²
    9.58800000000204e-05×1.30153214156215e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×1.30153214156215e-05×40589641000000     		ar = 366110.743734785m²