Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34272 / 34207
↖ ↑ ↗
← S  7.879706°
E  8.261719°		 ← 605.08 m → S  7.879706°
E  8.267212°		 →
↑
605.05 m
↓
↑
605.05 m
↓
S  7.885147°
E  8.261719°		 ← 605.08 m →
366 106 m²		 S  7.885147°
E  8.267212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522956848144531 y=0.521965026855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522956848144531 × 216)
    floor (0.522956848144531 × 65536)
    floor (34272.5)     		tx = 34272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521965026855469 × 216)
    floor (0.521965026855469 × 65536)
    floor (34207.5)     		ty = 34207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34272 / 34207 ti = "16/34272/34207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34272/34207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34272 ÷ 216
    34272 ÷ 65536     		x = 0.52294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34207 ÷ 216
    34207 ÷ 65536     		y = 0.521957397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52294921875 × 2 - 1) × π
    0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521957397460938 × 2 - 1) × π
    -0.043914794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.137962397106522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14419419} λ = 0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137962397106522))-π/2
    2×atan(0.871131448192978)-π/2
    2×0.71663475632047-π/2
    1.43326951264094-1.57079632675     		φ = -0.13752681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13752681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.879706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34272 KachelY 34207 0.14419419 -0.13752681 8.261719 -7.879706
    Oben rechts KachelX + 1 34273 KachelY 34207 0.14429007 -0.13752681 8.267212 -7.879706
    Unten links KachelX 34272 KachelY + 1 34208 0.14419419 -0.13762178 8.261719 -7.885147
    Unten rechts KachelX + 1 34273 KachelY + 1 34208 0.14429007 -0.13762178 8.267212 -7.885147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13752681--0.13762178) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dl = 605.053869999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13752681--0.13762178) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dr = 605.053869999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14419419-0.14429007) × cos(-0.13752681) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990558084086428 × 6371000     		do = 605.083871690112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14419419-0.14429007) × cos(-0.13762178) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990545059830871 × 6371000     		du = 605.075915804329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13752681)-sin(-0.13762178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990558084086428-0.990545059830871)×R²
    abs(0.14429007-0.14419419)×1.30242555570481e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.30242555570481e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.30242555570481e-05×40589641000000     		ar = 366105.931646051m²