Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3427 / 887
↖ ↑ ↗
← N 80.245948°
W 29.399414°		 ← 827.87 m → N 80.245948°
W 29.355469°		 →
↑
828.17 m
↓
↑
828.17 m
↓
N 80.238500°
W 29.399414°		 ← 828.49 m →
685 870 m²		 N 80.238500°
W 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41839599609375 y=0.10833740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41839599609375 × 213)
    floor (0.41839599609375 × 8192)
    floor (3427.5)     		tx = 3427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10833740234375 × 213)
    floor (0.10833740234375 × 8192)
    floor (887.5)     		ty = 887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3427 / 887 ti = "13/3427/887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3427/887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3427 ÷ 213
    3427 ÷ 8192     		x = 0.4183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 887 ÷ 213
    887 ÷ 8192     		y = 0.1082763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51311657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1082763671875 × 2 - 1) × π
    0.783447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46127217409216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51311657} λ = -0.51311657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46127217409216))-π/2
    2×atan(11.7197115736845)-π/2
    2×1.48567617009906-π/2
    2.97135234019811-1.57079632675     		φ = 1.40055601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51311657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.399414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40055601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.245948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3427 KachelY 887 -0.51311657 1.40055601 -29.399414 80.245948
    Oben rechts KachelX + 1 3428 KachelY 887 -0.51234958 1.40055601 -29.355469 80.245948
    Unten links KachelX 3427 KachelY + 1 888 -0.51311657 1.40042602 -29.399414 80.238500
    Unten rechts KachelX + 1 3428 KachelY + 1 888 -0.51234958 1.40042602 -29.355469 80.238500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40055601-1.40042602) × R
    0.000129990000000024 × 6371000     		dl = 828.166290000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40055601-1.40042602) × R
    0.000129990000000024 × 6371000     		dr = 828.166290000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51311657--0.51234958) × cos(1.40055601) × R
    0.000766990000000023 × 0.169419196751676 × 6371000     		do = 827.865768124277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51311657--0.51234958) × cos(1.40042602) × R
    0.000766990000000023 × 0.169547306195044 × 6371000     		du = 828.491774059682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40055601)-sin(1.40042602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169419196751676-0.169547306195044)×R²
    abs(-0.51234958--0.51311657)×0.000128109443368163×R²
    0.000766990000000023×0.000128109443368163×6371000²
    0.000766990000000023×0.000128109443368163×40589641000000     		ar = 685869.741276711m²