Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34268 / 34260
↖ ↑ ↗
← S  8.167993°
E  8.239746°		 ← 604.59 m → S  8.167993°
E  8.245239°		 →
↑
604.61 m
↓
↑
604.61 m
↓
S  8.173430°
E  8.239746°		 ← 604.58 m →
365 538 m²		 S  8.173430°
E  8.245239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522895812988281 y=0.522773742675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522895812988281 × 216)
    floor (0.522895812988281 × 65536)
    floor (34268.5)     		tx = 34268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522773742675781 × 216)
    floor (0.522773742675781 × 65536)
    floor (34260.5)     		ty = 34260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34268 / 34260 ti = "16/34268/34260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34268/34260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34268 ÷ 216
    34268 ÷ 65536     		x = 0.52288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34260 ÷ 216
    34260 ÷ 65536     		y = 0.52276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52288818359375 × 2 - 1) × π
    0.0457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14381070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.0455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.143043708466248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14381070} λ = 0.14381070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.143043708466248))-π/2
    2×atan(0.866716185232448)-π/2
    2×0.714118976287907-π/2
    1.42823795257581-1.57079632675     		φ = -0.14255837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14381070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14255837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.167993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34268 KachelY 34260 0.14381070 -0.14255837 8.239746 -8.167993
    Oben rechts KachelX + 1 34269 KachelY 34260 0.14390657 -0.14255837 8.245239 -8.167993
    Unten links KachelX 34268 KachelY + 1 34261 0.14381070 -0.14265327 8.239746 -8.173430
    Unten rechts KachelX + 1 34269 KachelY + 1 34261 0.14390657 -0.14265327 8.245239 -8.173430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14255837--0.14265327) × R
    9.49000000000089e-05 × 6371000     		dl = 604.607900000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14255837--0.14265327) × R
    9.49000000000089e-05 × 6371000     		dr = 604.607900000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14381070-0.14390657) × cos(-0.14255837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98985575307652 × 6371000     		do = 604.591788043265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14381070-0.14390657) × cos(-0.14265327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989842265607374 × 6371000     		du = 604.583550062062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14255837)-sin(-0.14265327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98985575307652-0.989842265607374)×R²
    abs(0.14390657-0.14381070)×1.34874691458675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.34874691458675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.34874691458675e-05×40589641000000     		ar = 365538.4812262m²