Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34267 / 21858
↖ ↑ ↗
← N 51.282535°
E  8.234253°		 ← 382.04 m → N 51.282535°
E  8.239746°		 →
↑
382.07 m
↓
↑
382.07 m
↓
N 51.279099°
E  8.234253°		 ← 382.06 m →
145 969 m²		 N 51.279099°
E  8.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522880554199219 y=0.333534240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522880554199219 × 216)
    floor (0.522880554199219 × 65536)
    floor (34267.5)     		tx = 34267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333534240722656 × 216)
    floor (0.333534240722656 × 65536)
    floor (21858.5)     		ty = 21858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34267 / 21858 ti = "16/34267/21858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34267/21858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34267 ÷ 216
    34267 ÷ 65536     		x = 0.522872924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21858 ÷ 216
    21858 ÷ 65536     		y = 0.333526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522872924804688 × 2 - 1) × π
    0.045745849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14371483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333526611328125 × 2 - 1) × π
    0.33294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04598314970963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14371483} λ = 0.14371483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04598314970963))-π/2
    2×atan(2.84619538472594)-π/2
    2×1.23292270287678-π/2
    2.46584540575356-1.57079632675     		φ = 0.89504908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14371483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.234253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89504908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.282535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34267 KachelY 21858 0.14371483 0.89504908 8.234253 51.282535
    Oben rechts KachelX + 1 34268 KachelY 21858 0.14381070 0.89504908 8.239746 51.282535
    Unten links KachelX 34267 KachelY + 1 21859 0.14371483 0.89498911 8.234253 51.279099
    Unten rechts KachelX + 1 34268 KachelY + 1 21859 0.14381070 0.89498911 8.239746 51.279099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89504908-0.89498911) × R
    5.99700000000203e-05 × 6371000     		dl = 382.068870000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89504908-0.89498911) × R
    5.99700000000203e-05 × 6371000     		dr = 382.068870000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14371483-0.14381070) × cos(0.89504908) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.625480522976018 × 6371000     		do = 382.035853807058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14371483-0.14381070) × cos(0.89498911) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.625527312830899 × 6371000     		du = 382.064432478179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89504908)-sin(0.89498911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625480522976018-0.625527312830899)×R²
    abs(0.14381070-0.14371483)×4.67898548809353e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.67898548809353e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.67898548809353e-05×40589641000000     		ar = 145969.46651749m²