Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34261 / 34229
↖ ↑ ↗
← S  7.999397°
E  8.201294°		 ← 604.91 m → S  7.999397°
E  8.206787°		 →
↑
604.86 m
↓
↑
604.86 m
↓
S  8.004837°
E  8.201294°		 ← 604.90 m →
365 884 m²		 S  8.004837°
E  8.206787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522789001464844 y=0.522300720214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522789001464844 × 216)
    floor (0.522789001464844 × 65536)
    floor (34261.5)     		tx = 34261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522300720214844 × 216)
    floor (0.522300720214844 × 65536)
    floor (34229.5)     		ty = 34229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34261 / 34229 ti = "16/34261/34229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34261/34229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34261 ÷ 216
    34261 ÷ 65536     		x = 0.522781372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34229 ÷ 216
    34229 ÷ 65536     		y = 0.522293090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522781372070312 × 2 - 1) × π
    0.045562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14313958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522293090820312 × 2 - 1) × π
    -0.044586181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.140071620689804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14313958} λ = 0.14313958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.140071620689804))-π/2
    2×atan(0.869295973591943)-π/2
    2×0.71559025386725-π/2
    1.4311805077345-1.57079632675     		φ = -0.13961582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14313958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.201294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13961582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.999397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34261 KachelY 34229 0.14313958 -0.13961582 8.201294 -7.999397
    Oben rechts KachelX + 1 34262 KachelY 34229 0.14323546 -0.13961582 8.206787 -7.999397
    Unten links KachelX 34261 KachelY + 1 34230 0.14313958 -0.13971076 8.201294 -8.004837
    Unten rechts KachelX + 1 34262 KachelY + 1 34230 0.14323546 -0.13971076 8.206787 -8.004837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13961582--0.13971076) × R
    9.49399999999878e-05 × 6371000     		dl = 604.862739999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13961582--0.13971076) × R
    9.49399999999878e-05 × 6371000     		dr = 604.862739999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14313958-0.14323546) × cos(-0.13961582) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.990269532809999 × 6371000     		do = 604.907609716025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14313958-0.14323546) × cos(-0.13971076) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.990256316241929 × 6371000     		du = 604.899536355859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13961582)-sin(-0.13971076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990269532809999-0.990256316241929)×R²
    abs(0.14323546-0.14313958)×1.32165680692964e-05×R²
    9.58800000000204e-05×1.32165680692964e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×1.32165680692964e-05×40589641000000     		ar = 365883.632897083m²