Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34257 / 34223
↖ ↑ ↗
← S  7.966758°
E  8.179321°		 ← 604.89 m → S  7.966758°
E  8.184814°		 →
↑
604.93 m
↓
↑
604.93 m
↓
S  7.972198°
E  8.179321°		 ← 604.88 m →
365 913 m²		 S  7.972198°
E  8.184814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522727966308594 y=0.522209167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522727966308594 × 216)
    floor (0.522727966308594 × 65536)
    floor (34257.5)     		tx = 34257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522209167480469 × 216)
    floor (0.522209167480469 × 65536)
    floor (34223.5)     		ty = 34223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34257 / 34223 ti = "16/34257/34223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34257/34223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34257 ÷ 216
    34257 ÷ 65536     		x = 0.522720336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34223 ÷ 216
    34223 ÷ 65536     		y = 0.522201538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522720336914062 × 2 - 1) × π
    0.045440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14275609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522201538085938 × 2 - 1) × π
    -0.044403076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.139496377894363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14275609} λ = 0.14275609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.139496377894363))-π/2
    2×atan(0.869796173692316)-π/2
    2×0.715875087959694-π/2
    1.43175017591939-1.57079632675     		φ = -0.13904615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14275609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.179321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13904615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.966758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34257 KachelY 34223 0.14275609 -0.13904615 8.179321 -7.966758
    Oben rechts KachelX + 1 34258 KachelY 34223 0.14285196 -0.13904615 8.184814 -7.966758
    Unten links KachelX 34257 KachelY + 1 34224 0.14275609 -0.13914110 8.179321 -7.972198
    Unten rechts KachelX + 1 34258 KachelY + 1 34224 0.14285196 -0.13914110 8.184814 -7.972198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13904615--0.13914110) × R
    9.49499999999825e-05 × 6371000     		dl = 604.926449999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13904615--0.13914110) × R
    9.49499999999825e-05 × 6371000     		dr = 604.926449999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14275609-0.14285196) × cos(-0.13904615) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990348648928369 × 6371000     		do = 604.892842801458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14275609-0.14285196) × cos(-0.13914110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990335484533361 × 6371000     		du = 604.884802149988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13904615)-sin(-0.13914110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990348648928369-0.990335484533361)×R²
    abs(0.14285196-0.14275609)×1.31643950078697e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.31643950078697e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.31643950078697e-05×40589641000000     		ar = 365913.248299823m²