Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34255 / 24095
↖ ↑ ↗
← N 42.944360°
E  8.168335°		 ← 447.11 m → N 42.944360°
E  8.173828°		 →
↑
447.12 m
↓
↑
447.12 m
↓
N 42.940339°
E  8.168335°		 ← 447.14 m →
199 915 m²		 N 42.940339°
E  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522697448730469 y=0.367668151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522697448730469 × 216)
    floor (0.522697448730469 × 65536)
    floor (34255.5)     		tx = 34255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367668151855469 × 216)
    floor (0.367668151855469 × 65536)
    floor (24095.5)     		ty = 24095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34255 / 24095 ti = "16/34255/24095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34255/24095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34255 ÷ 216
    34255 ÷ 65536     		x = 0.522689819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24095 ÷ 216
    24095 ÷ 65536     		y = 0.367660522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522689819335938 × 2 - 1) × π
    0.045379638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14256434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367660522460938 × 2 - 1) × π
    0.264678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.831513460809494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14256434} λ = 0.14256434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831513460809494))-π/2
    2×atan(2.29679221612303)-π/2
    2×1.16015840587014-π/2
    2.32031681174028-1.57079632675     		φ = 0.74952048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14256434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.168335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74952048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.944360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34255 KachelY 24095 0.14256434 0.74952048 8.168335 42.944360
    Oben rechts KachelX + 1 34256 KachelY 24095 0.14266021 0.74952048 8.173828 42.944360
    Unten links KachelX 34255 KachelY + 1 24096 0.14256434 0.74945030 8.168335 42.940339
    Unten rechts KachelX + 1 34256 KachelY + 1 24096 0.14266021 0.74945030 8.173828 42.940339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74952048-0.74945030) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dl = 447.116780000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74952048-0.74945030) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dr = 447.116780000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14256434-0.14266021) × cos(0.74952048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732015644157442 × 6371000     		do = 447.106202900028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14256434-0.14266021) × cos(0.74945030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732063455134092 × 6371000     		du = 447.135405259838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74952048)-sin(0.74945030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732015644157442-0.732063455134092)×R²
    abs(0.14266021-0.14256434)×4.78109766507417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78109766507417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78109766507417e-05×40589641000000     		ar = 199915.21427366m²