Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34253 / 24093
↖ ↑ ↗
← N 42.952402°
E  8.157349°		 ← 447.09 m → N 42.952402°
E  8.162842°		 →
↑
447.12 m
↓
↑
447.12 m
↓
N 42.948381°
E  8.157349°		 ← 447.12 m →
199 910 m²		 N 42.948381°
E  8.162842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522666931152344 y=0.367637634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522666931152344 × 216)
    floor (0.522666931152344 × 65536)
    floor (34253.5)     		tx = 34253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367637634277344 × 216)
    floor (0.367637634277344 × 65536)
    floor (24093.5)     		ty = 24093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34253 / 24093 ti = "16/34253/24093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34253/24093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34253 ÷ 216
    34253 ÷ 65536     		x = 0.522659301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24093 ÷ 216
    24093 ÷ 65536     		y = 0.367630004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522659301757812 × 2 - 1) × π
    0.045318603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14237259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367630004882812 × 2 - 1) × π
    0.264739990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.831705208407974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14237259} λ = 0.14237259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831705208407974))-π/2
    2×atan(2.29723266274062)-π/2
    2×1.16022858240663-π/2
    2.32045716481326-1.57079632675     		φ = 0.74966084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14237259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.157349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74966084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.952402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34253 KachelY 24093 0.14237259 0.74966084 8.157349 42.952402
    Oben rechts KachelX + 1 34254 KachelY 24093 0.14246847 0.74966084 8.162842 42.952402
    Unten links KachelX 34253 KachelY + 1 24094 0.14237259 0.74959066 8.157349 42.948381
    Unten rechts KachelX + 1 34254 KachelY + 1 24094 0.14246847 0.74959066 8.162842 42.948381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74966084-0.74959066) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dl = 447.116780000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74966084-0.74959066) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dr = 447.116780000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14237259-0.14246847) × cos(0.74966084) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.731920011388334 × 6371000     		do = 447.094422198276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14237259-0.14246847) × cos(0.74959066) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.731967829575444 × 6371000     		du = 447.123632008643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74966084)-sin(0.74959066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731920011388334-0.731967829575444)×R²
    abs(0.14246847-0.14237259)×4.78181871096384e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.78181871096384e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.78181871096384e-05×40589641000000     		ar = 199909.948589663m²