Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34253 / 21837
↖ ↑ ↗
← N 51.354631°
E  8.157349°		 ← 381.48 m → N 51.354631°
E  8.162842°		 →
↑
381.43 m
↓
↑
381.43 m
↓
N 51.351201°
E  8.157349°		 ← 381.50 m →
145 512 m²		 N 51.351201°
E  8.162842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522666931152344 y=0.333213806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522666931152344 × 216)
    floor (0.522666931152344 × 65536)
    floor (34253.5)     		tx = 34253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333213806152344 × 216)
    floor (0.333213806152344 × 65536)
    floor (21837.5)     		ty = 21837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34253 / 21837 ti = "16/34253/21837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34253/21837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34253 ÷ 216
    34253 ÷ 65536     		x = 0.522659301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21837 ÷ 216
    21837 ÷ 65536     		y = 0.333206176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522659301757812 × 2 - 1) × π
    0.045318603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14237259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333206176757812 × 2 - 1) × π
    0.333587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04799649949367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14237259} λ = 0.14237259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04799649949367))-π/2
    2×atan(2.85193154409907)-π/2
    2×1.23355186394674-π/2
    2.46710372789348-1.57079632675     		φ = 0.89630740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14237259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.157349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89630740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.354631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34253 KachelY 21837 0.14237259 0.89630740 8.157349 51.354631
    Oben rechts KachelX + 1 34254 KachelY 21837 0.14246847 0.89630740 8.162842 51.354631
    Unten links KachelX 34253 KachelY + 1 21838 0.14237259 0.89624753 8.157349 51.351201
    Unten rechts KachelX + 1 34254 KachelY + 1 21838 0.14246847 0.89624753 8.162842 51.351201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89630740-0.89624753) × R
    5.98699999999619e-05 × 6371000     		dl = 381.431769999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89630740-0.89624753) × R
    5.98699999999619e-05 × 6371000     		dr = 381.431769999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14237259-0.14246847) × cos(0.89630740) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.624498236731026 × 6371000     		do = 381.475672164618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14237259-0.14246847) × cos(0.89624753) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.624544995651404 × 6371000     		du = 381.504234920335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89630740)-sin(0.89624753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624498236731026-0.624544995651404)×R²
    abs(0.14246847-0.14237259)×4.67589203787533e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.67589203787533e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.67589203787533e-05×40589641000000     		ar = 145512.388260582m²