Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3425 / 936
↖ ↑ ↗
← N 79.874297°
W 29.487304°		 ← 859.09 m → N 79.874297°
W 29.443359°		 →
↑
859.45 m
↓
↑
859.45 m
↓
N 79.866568°
W 29.487304°		 ← 859.74 m →
738 619 m²		 N 79.866568°
W 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41815185546875 y=0.11431884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41815185546875 × 213)
    floor (0.41815185546875 × 8192)
    floor (3425.5)     		tx = 3425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11431884765625 × 213)
    floor (0.11431884765625 × 8192)
    floor (936.5)     		ty = 936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3425 / 936 ti = "13/3425/936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3425/936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3425 ÷ 213
    3425 ÷ 8192     		x = 0.4180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 936 ÷ 213
    936 ÷ 8192     		y = 0.1142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51465055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1142578125 × 2 - 1) × π
    0.771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42368964479004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51465055} λ = -0.51465055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42368964479004))-π/2
    2×atan(11.2874291829769)-π/2
    2×1.48243289793123-π/2
    2.96486579586246-1.57079632675     		φ = 1.39406947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51465055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.487304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39406947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.874297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3425 KachelY 936 -0.51465055 1.39406947 -29.487304 79.874297
    Oben rechts KachelX + 1 3426 KachelY 936 -0.51388356 1.39406947 -29.443359 79.874297
    Unten links KachelX 3425 KachelY + 1 937 -0.51465055 1.39393457 -29.487304 79.866568
    Unten rechts KachelX + 1 3426 KachelY + 1 937 -0.51388356 1.39393457 -29.443359 79.866568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39406947-1.39393457) × R
    0.000134899999999938 × 6371000     		dl = 859.447899999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39406947-1.39393457) × R
    0.000134899999999938 × 6371000     		dr = 859.447899999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51465055--0.51388356) × cos(1.39406947) × R
    0.000766990000000023 × 0.175808358865107 × 6371000     		do = 859.086365920285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51465055--0.51388356) × cos(1.39393457) × R
    0.000766990000000023 × 0.175941156118066 × 6371000     		du = 859.735278805798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39406947)-sin(1.39393457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175808358865107-0.175941156118066)×R²
    abs(-0.51388356--0.51465055)×0.000132797252958589×R²
    0.000766990000000023×0.000132797252958589×6371000²
    0.000766990000000023×0.000132797252958589×40589641000000     		ar = 738618.827635845m²