Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34247 / 24070
↖ ↑ ↗
← N 43.044805°
E  8.124390°		 ← 446.38 m → N 43.044805°
E  8.129883°		 →
↑
446.42 m
↓
↑
446.42 m
↓
N 43.040791°
E  8.124390°		 ← 446.41 m →
199 276 m²		 N 43.040791°
E  8.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522575378417969 y=0.367286682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522575378417969 × 216)
    floor (0.522575378417969 × 65536)
    floor (34247.5)     		tx = 34247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367286682128906 × 216)
    floor (0.367286682128906 × 65536)
    floor (24070.5)     		ty = 24070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34247 / 24070 ti = "16/34247/24070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34247/24070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34247 ÷ 216
    34247 ÷ 65536     		x = 0.522567749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24070 ÷ 216
    24070 ÷ 65536     		y = 0.367279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522567749023438 × 2 - 1) × π
    0.045135498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14179735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367279052734375 × 2 - 1) × π
    0.26544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.833910305790497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14179735} λ = 0.14179735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833910305790497))-π/2
    2×atan(2.30230387367437)-π/2
    2×1.16103495355768-π/2
    2.32206990711537-1.57079632675     		φ = 0.75127358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14179735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.124390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75127358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.044805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34247 KachelY 24070 0.14179735 0.75127358 8.124390 43.044805
    Oben rechts KachelX + 1 34248 KachelY 24070 0.14189322 0.75127358 8.129883 43.044805
    Unten links KachelX 34247 KachelY + 1 24071 0.14179735 0.75120351 8.124390 43.040791
    Unten rechts KachelX + 1 34248 KachelY + 1 24071 0.14189322 0.75120351 8.129883 43.040791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75127358-0.75120351) × R
    7.00700000000332e-05 × 6371000     		dl = 446.415970000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75127358-0.75120351) × R
    7.00700000000332e-05 × 6371000     		dr = 446.415970000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14179735-0.14189322) × cos(0.75127358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73082015421472 × 6371000     		do = 446.376012263855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14179735-0.14189322) × cos(0.75120351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.730867980105482 × 6371000     		du = 446.405223733022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75127358)-sin(0.75120351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73082015421472-0.730867980105482)×R²
    abs(0.14189322-0.14179735)×4.78258907625762e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78258907625762e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78258907625762e-05×40589641000000     		ar = 199275.900814525m²