Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34245 / 22007
↖ ↑ ↗
← N 50.767734°
E  8.113403°		 ← 386.34 m → N 50.767734°
E  8.118897°		 →
↑
386.34 m
↓
↑
386.34 m
↓
N 50.764259°
E  8.113403°		 ← 386.37 m →
149 264 m²		 N 50.764259°
E  8.118897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522544860839844 y=0.335807800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522544860839844 × 216)
    floor (0.522544860839844 × 65536)
    floor (34245.5)     		tx = 34245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335807800292969 × 216)
    floor (0.335807800292969 × 65536)
    floor (22007.5)     		ty = 22007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34245 / 22007 ti = "16/34245/22007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34245/22007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34245 ÷ 216
    34245 ÷ 65536     		x = 0.522537231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22007 ÷ 216
    22007 ÷ 65536     		y = 0.335800170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522537231445312 × 2 - 1) × π
    0.045074462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14160560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335800170898438 × 2 - 1) × π
    0.328399658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03169795362285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14160560} λ = 0.14160560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03169795362285))-π/2
    2×atan(2.80582595466878)-π/2
    2×1.22843021701359-π/2
    2.45686043402718-1.57079632675     		φ = 0.88606411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14160560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.113403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88606411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.767734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34245 KachelY 22007 0.14160560 0.88606411 8.113403 50.767734
    Oben rechts KachelX + 1 34246 KachelY 22007 0.14170148 0.88606411 8.118897 50.767734
    Unten links KachelX 34245 KachelY + 1 22008 0.14160560 0.88600347 8.113403 50.764259
    Unten rechts KachelX + 1 34246 KachelY + 1 22008 0.14170148 0.88600347 8.118897 50.764259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88606411-0.88600347) × R
    6.06399999999452e-05 × 6371000     		dl = 386.337439999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88606411-0.88600347) × R
    6.06399999999452e-05 × 6371000     		dr = 386.337439999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14160560-0.14170148) × cos(0.88606411) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.632465612420532 × 6371000     		do = 386.342555396159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14160560-0.14170148) × cos(0.88600347) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.632512582300562 × 6371000     		du = 386.37124701689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88606411)-sin(0.88600347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632465612420532-0.632512582300562)×R²
    abs(0.14170148-0.14160560)×4.69698800293905e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69698800293905e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69698800293905e-05×40589641000000     		ar = 149264.136184458m²