Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34244 / 24091
↖ ↑ ↗
← N 42.960443°
E  8.107910°		 ← 446.99 m → N 42.960443°
E  8.113403°		 →
↑
446.99 m
↓
↑
446.99 m
↓
N 42.956423°
E  8.107910°		 ← 447.02 m →
199 806 m²		 N 42.956423°
E  8.113403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522529602050781 y=0.367607116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522529602050781 × 216)
    floor (0.522529602050781 × 65536)
    floor (34244.5)     		tx = 34244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367607116699219 × 216)
    floor (0.367607116699219 × 65536)
    floor (24091.5)     		ty = 24091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34244 / 24091 ti = "16/34244/24091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34244/24091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34244 ÷ 216
    34244 ÷ 65536     		x = 0.52252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24091 ÷ 216
    24091 ÷ 65536     		y = 0.367599487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52252197265625 × 2 - 1) × π
    0.0450439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14150973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367599487304688 × 2 - 1) × π
    0.264801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.831896956006455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14150973} λ = 0.14150973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831896956006455))-π/2
    2×atan(2.29767319382089)-π/2
    2×1.1602987497748-π/2
    2.32059749954961-1.57079632675     		φ = 0.74980117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14150973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.107910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74980117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.960443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34244 KachelY 24091 0.14150973 0.74980117 8.107910 42.960443
    Oben rechts KachelX + 1 34245 KachelY 24091 0.14160560 0.74980117 8.113403 42.960443
    Unten links KachelX 34244 KachelY + 1 24092 0.14150973 0.74973101 8.107910 42.956423
    Unten rechts KachelX + 1 34245 KachelY + 1 24092 0.14160560 0.74973101 8.113403 42.956423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74980117-0.74973101) × R
    7.01600000000413e-05 × 6371000     		dl = 446.989360000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74980117-0.74973101) × R
    7.01600000000413e-05 × 6371000     		dr = 446.989360000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14150973-0.14160560) × cos(0.74980117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73182438464452 × 6371000     		do = 446.989383928639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14150973-0.14160560) × cos(0.74973101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.731872196410768 × 6371000     		du = 447.018586770725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74980117)-sin(0.74973101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73182438464452-0.731872196410768)×R²
    abs(0.14160560-0.14150973)×4.78117662473521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78117662473521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78117662473521e-05×40589641000000     		ar = 199806.025410985m²