Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34242 / 34194
↖ ↑ ↗
← S  7.808963°
E  8.096924°		 ← 605.12 m → S  7.808963°
E  8.102417°		 →
↑
605.12 m
↓
↑
605.12 m
↓
S  7.814405°
E  8.096924°		 ← 605.12 m →
366 169 m²		 S  7.814405°
E  8.102417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522499084472656 y=0.521766662597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522499084472656 × 216)
    floor (0.522499084472656 × 65536)
    floor (34242.5)     		tx = 34242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521766662597656 × 216)
    floor (0.521766662597656 × 65536)
    floor (34194.5)     		ty = 34194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34242 / 34194 ti = "16/34242/34194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34242/34194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34242 ÷ 216
    34242 ÷ 65536     		x = 0.522491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34194 ÷ 216
    34194 ÷ 65536     		y = 0.521759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522491455078125 × 2 - 1) × π
    0.04498291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14131798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521759033203125 × 2 - 1) × π
    -0.04351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.1367160377164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14131798} λ = 0.14131798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.1367160377164))-π/2
    2×atan(0.872217867947557)-π/2
    2×0.717252104589098-π/2
    1.4345042091782-1.57079632675     		φ = -0.13629212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14131798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.096924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13629212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.808963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34242 KachelY 34194 0.14131798 -0.13629212 8.096924 -7.808963
    Oben rechts KachelX + 1 34243 KachelY 34194 0.14141385 -0.13629212 8.102417 -7.808963
    Unten links KachelX 34242 KachelY + 1 34195 0.14131798 -0.13638710 8.096924 -7.814405
    Unten rechts KachelX + 1 34243 KachelY + 1 34195 0.14141385 -0.13638710 8.102417 -7.814405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13629212--0.13638710) × R
    9.49800000000223e-05 × 6371000     		dl = 605.117580000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13629212--0.13638710) × R
    9.49800000000223e-05 × 6371000     		dr = 605.117580000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14131798-0.14141385) × cos(-0.13629212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9907265972288 × 6371000     		do = 605.123689001053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14131798-0.14141385) × cos(-0.13638710) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990713687774095 × 6371000     		du = 605.115804064002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13629212)-sin(-0.13638710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9907265972288-0.990713687774095)×R²
    abs(0.14141385-0.14131798)×1.29094547048902e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.29094547048902e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.29094547048902e-05×40589641000000     		ar = 366168.59690738m²