Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34241 / 34193
↖ ↑ ↗
← S  7.803521°
E  8.091431°		 ← 605.13 m → S  7.803521°
E  8.096924°		 →
↑
605.18 m
↓
↑
605.18 m
↓
S  7.808963°
E  8.091431°		 ← 605.12 m →
366 212 m²		 S  7.808963°
E  8.096924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522483825683594 y=0.521751403808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522483825683594 × 216)
    floor (0.522483825683594 × 65536)
    floor (34241.5)     		tx = 34241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521751403808594 × 216)
    floor (0.521751403808594 × 65536)
    floor (34193.5)     		ty = 34193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34241 / 34193 ti = "16/34241/34193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34241/34193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34241 ÷ 216
    34241 ÷ 65536     		x = 0.522476196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34193 ÷ 216
    34193 ÷ 65536     		y = 0.521743774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522476196289062 × 2 - 1) × π
    0.044952392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14122211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521743774414062 × 2 - 1) × π
    -0.043487548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.13662016391716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14122211} λ = 0.14122211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.13662016391716))-π/2
    2×atan(0.87230149479707)-π/2
    2×0.717299597259814-π/2
    1.43459919451963-1.57079632675     		φ = -0.13619713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14122211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.091431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13619713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.803521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34241 KachelY 34193 0.14122211 -0.13619713 8.091431 -7.803521
    Oben rechts KachelX + 1 34242 KachelY 34193 0.14131798 -0.13619713 8.096924 -7.803521
    Unten links KachelX 34241 KachelY + 1 34194 0.14122211 -0.13629212 8.091431 -7.808963
    Unten rechts KachelX + 1 34242 KachelY + 1 34194 0.14131798 -0.13629212 8.096924 -7.808963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13619713--0.13629212) × R
    9.49899999999892e-05 × 6371000     		dl = 605.181289999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13619713--0.13629212) × R
    9.49899999999892e-05 × 6371000     		dr = 605.181289999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14122211-0.14131798) × cos(-0.13619713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990739499103726 × 6371000     		do = 605.131569308468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14122211-0.14131798) × cos(-0.13629212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9907265972288 × 6371000     		du = 605.123689001053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13619713)-sin(-0.13629212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990739499103726-0.9907265972288)×R²
    abs(0.14131798-0.14122211)×1.29018749261967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.29018749261967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.29018749261967e-05×40589641000000     		ar = 366211.919501888m²