Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34240 / 21711
↖ ↑ ↗
← N 51.784834°
E  8.085937°		 ← 377.88 m → N 51.784834°
E  8.091431°		 →
↑
377.86 m
↓
↑
377.86 m
↓
N 51.781435°
E  8.085937°		 ← 377.91 m →
142 794 m²		 N 51.781435°
E  8.091431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522468566894531 y=0.331291198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522468566894531 × 216)
    floor (0.522468566894531 × 65536)
    floor (34240.5)     		tx = 34240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331291198730469 × 216)
    floor (0.331291198730469 × 65536)
    floor (21711.5)     		ty = 21711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34240 / 21711 ti = "16/34240/21711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34240/21711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34240 ÷ 216
    34240 ÷ 65536     		x = 0.5224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21711 ÷ 216
    21711 ÷ 65536     		y = 0.331283569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331283569335938 × 2 - 1) × π
    0.337432861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06007659819792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14112623} λ = 0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06007659819792))-π/2
    2×atan(2.88659208855207)-π/2
    2×1.23730609041009-π/2
    2.47461218082019-1.57079632675     		φ = 0.90381585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90381585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.784834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34240 KachelY 21711 0.14112623 0.90381585 8.085937 51.784834
    Oben rechts KachelX + 1 34241 KachelY 21711 0.14122211 0.90381585 8.091431 51.784834
    Unten links KachelX 34240 KachelY + 1 21712 0.14112623 0.90375654 8.085937 51.781435
    Unten rechts KachelX + 1 34241 KachelY + 1 21712 0.14122211 0.90375654 8.091431 51.781435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90381585-0.90375654) × R
    5.93099999999236e-05 × 6371000     		dl = 377.864009999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90381585-0.90375654) × R
    5.93099999999236e-05 × 6371000     		dr = 377.864009999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14112623-0.14122211) × cos(0.90381585) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.61861639200023 × 6371000     		do = 377.882738605681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14112623-0.14122211) × cos(0.90375654) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.618662990374151 × 6371000     		du = 377.911203291356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90381585)-sin(0.90375654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61861639200023-0.618662990374151)×R²
    abs(0.14122211-0.14112623)×4.65983739209586e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.65983739209586e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.65983739209586e-05×40589641000000     		ar = 142793.664851055m²