Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 34239 / 20933
↖ ↑ ↗
← N 76.554550°
W 85.959778°		 ← 71.02 m → N 76.554550°
W 85.957031°		 →
↑
71.04 m
↓
↑
71.04 m
↓
N 76.553911°
W 85.959778°		 ← 71.02 m →
5 045 m²		 N 76.553911°
W 85.957031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.261226654052734 y=0.159709930419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.261226654052734 × 217)
    floor (0.261226654052734 × 131072)
    floor (34239.5)     		tx = 34239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159709930419922 × 217)
    floor (0.159709930419922 × 131072)
    floor (20933.5)     		ty = 20933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34239 / 20933 ti = "17/34239/20933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34239/20933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34239 ÷ 217
    34239 ÷ 131072     		x = 0.261222839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20933 ÷ 217
    20933 ÷ 131072     		y = 0.159706115722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.261222839355469 × 2 - 1) × π
    -0.477554321289062 × 3.1415926535     		Λ = -1.50028115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159706115722656 × 2 - 1) × π
    0.680587768554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.13812953375336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50028115} λ = -1.50028115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13812953375336))-π/2
    2×atan(8.4835545766732)-π/2
    2×1.45346264207027-π/2
    2.90692528414053-1.57079632675     		φ = 1.33612896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50028115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.959778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33612896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.554550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34239 KachelY 20933 -1.50028115 1.33612896 -85.959778 76.554550
    Oben rechts KachelX + 1 34240 KachelY 20933 -1.50023321 1.33612896 -85.957031 76.554550
    Unten links KachelX 34239 KachelY + 1 20934 -1.50028115 1.33611781 -85.959778 76.553911
    Unten rechts KachelX + 1 34240 KachelY + 1 20934 -1.50023321 1.33611781 -85.957031 76.553911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33612896-1.33611781) × R
    1.11499999999598e-05 × 6371000     		dl = 71.0366499997439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33612896-1.33611781) × R
    1.11499999999598e-05 × 6371000     		dr = 71.0366499997439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50028115--1.50023321) × cos(1.33612896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232519482074577 × 6371000     		do = 71.017434876998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50028115--1.50023321) × cos(1.33611781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232530326458011 × 6371000     		du = 71.0207470308332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33612896)-sin(1.33611781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232519482074577-0.232530326458011)×R²
    abs(-1.50023321--1.50028115)×1.08443834340721e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08443834340721e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08443834340721e-05×40589641000000     		ar = 5044.95830735975m²