Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34238 / 24108
↖ ↑ ↗
← N 42.892064°
E  8.074951°		 ← 447.53 m → N 42.892064°
E  8.080444°		 →
↑
447.50 m
↓
↑
447.50 m
↓
N 42.888040°
E  8.074951°		 ← 447.56 m →
200 277 m²		 N 42.888040°
E  8.080444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522438049316406 y=0.367866516113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522438049316406 × 216)
    floor (0.522438049316406 × 65536)
    floor (34238.5)     		tx = 34238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367866516113281 × 216)
    floor (0.367866516113281 × 65536)
    floor (24108.5)     		ty = 24108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34238 / 24108 ti = "16/34238/24108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34238/24108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34238 ÷ 216
    34238 ÷ 65536     		x = 0.522430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24108 ÷ 216
    24108 ÷ 65536     		y = 0.36785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522430419921875 × 2 - 1) × π
    0.04486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14093448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36785888671875 × 2 - 1) × π
    0.2642822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.830267101419373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14093448} λ = 0.14093448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.830267101419373))-π/2
    2×atan(2.29393137076838)-π/2
    2×1.15970203491807-π/2
    2.31940406983614-1.57079632675     		φ = 0.74860774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14093448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.074951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74860774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.892064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34238 KachelY 24108 0.14093448 0.74860774 8.074951 42.892064
    Oben rechts KachelX + 1 34239 KachelY 24108 0.14103036 0.74860774 8.080444 42.892064
    Unten links KachelX 34238 KachelY + 1 24109 0.14093448 0.74853750 8.074951 42.888040
    Unten rechts KachelX + 1 34239 KachelY + 1 24109 0.14103036 0.74853750 8.080444 42.888040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74860774-0.74853750) × R
    7.02399999999992e-05 × 6371000     		dl = 447.499039999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74860774-0.74853750) × R
    7.02399999999992e-05 × 6371000     		dr = 447.499039999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14093448-0.14103036) × cos(0.74860774) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.732637177798944 × 6371000     		do = 447.532504361473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14093448-0.14103036) × cos(0.74853750) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.732684982698169 × 6371000     		du = 447.561706054917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74860774)-sin(0.74853750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732637177798944-0.732684982698169)×R²
    abs(0.14103036-0.14093448)×4.7804899225512e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7804899225512e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7804899225512e-05×40589641000000     		ar = 200276.90001749m²