Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34237 / 24102
↖ ↑ ↗
← N 42.916206°
E  8.069458°		 ← 447.31 m → N 42.916206°
E  8.074951°		 →
↑
447.31 m
↓
↑
447.31 m
↓
N 42.912183°
E  8.069458°		 ← 447.34 m →
200 092 m²		 N 42.912183°
E  8.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522422790527344 y=0.367774963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522422790527344 × 216)
    floor (0.522422790527344 × 65536)
    floor (34237.5)     		tx = 34237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367774963378906 × 216)
    floor (0.367774963378906 × 65536)
    floor (24102.5)     		ty = 24102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34237 / 24102 ti = "16/34237/24102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34237/24102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34237 ÷ 216
    34237 ÷ 65536     		x = 0.522415161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24102 ÷ 216
    24102 ÷ 65536     		y = 0.367767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522415161132812 × 2 - 1) × π
    0.044830322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14083861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367767333984375 × 2 - 1) × π
    0.26446533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.830842344214813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14083861} λ = 0.14083861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.830842344214813))-π/2
    2×atan(2.29525131787128)-π/2
    2×1.15991271579461-π/2
    2.31982543158922-1.57079632675     		φ = 0.74902910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14083861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.069458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74902910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.916206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34237 KachelY 24102 0.14083861 0.74902910 8.069458 42.916206
    Oben rechts KachelX + 1 34238 KachelY 24102 0.14093448 0.74902910 8.074951 42.916206
    Unten links KachelX 34237 KachelY + 1 24103 0.14083861 0.74895889 8.069458 42.912183
    Unten rechts KachelX + 1 34238 KachelY + 1 24103 0.14093448 0.74895889 8.074951 42.912183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74902910-0.74895889) × R
    7.02099999999595e-05 × 6371000     		dl = 447.307909999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74902910-0.74895889) × R
    7.02099999999595e-05 × 6371000     		dr = 447.307909999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14083861-0.14093448) × cos(0.74902910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732350326979891 × 6371000     		do = 447.310623074809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14083861-0.14093448) × cos(0.74895889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73239813313265 × 6371000     		du = 447.339822488245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74902910)-sin(0.74895889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732350326979891-0.73239813313265)×R²
    abs(0.14093448-0.14083861)×4.78061527593443e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78061527593443e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78061527593443e-05×40589641000000     		ar = 200092.110574849m²