Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34236 / 24111
↖ ↑ ↗
← N 42.879990°
E  8.063965°		 ← 447.57 m → N 42.879990°
E  8.069458°		 →
↑
447.63 m
↓
↑
447.63 m
↓
N 42.875964°
E  8.063965°		 ← 447.60 m →
200 352 m²		 N 42.875964°
E  8.069458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522407531738281 y=0.367912292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522407531738281 × 216)
    floor (0.522407531738281 × 65536)
    floor (34236.5)     		tx = 34236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367912292480469 × 216)
    floor (0.367912292480469 × 65536)
    floor (24111.5)     		ty = 24111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34236 / 24111 ti = "16/34236/24111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34236/24111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34236 ÷ 216
    34236 ÷ 65536     		x = 0.52239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24111 ÷ 216
    24111 ÷ 65536     		y = 0.367904663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52239990234375 × 2 - 1) × π
    0.0447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14074274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367904663085938 × 2 - 1) × π
    0.264190673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.829979480021652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14074274} λ = 0.14074274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.829979480021652))-π/2
    2×atan(2.29327168189611)-π/2
    2×1.15959666354115-π/2
    2.31919332708229-1.57079632675     		φ = 0.74839700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14074274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74839700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.879990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34236 KachelY 24111 0.14074274 0.74839700 8.063965 42.879990
    Oben rechts KachelX + 1 34237 KachelY 24111 0.14083861 0.74839700 8.069458 42.879990
    Unten links KachelX 34236 KachelY + 1 24112 0.14074274 0.74832674 8.063965 42.875964
    Unten rechts KachelX + 1 34237 KachelY + 1 24112 0.14083861 0.74832674 8.069458 42.875964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74839700-0.74832674) × R
    7.02599999999887e-05 × 6371000     		dl = 447.626459999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74839700-0.74832674) × R
    7.02599999999887e-05 × 6371000     		dr = 447.626459999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14074274-0.14083861) × cos(0.74839700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732780595261234 × 6371000     		do = 447.573425678872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14074274-0.14083861) × cos(0.74832674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732828402922542 × 6371000     		du = 447.602626013711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74839700)-sin(0.74832674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732780595261234-0.732828402922542)×R²
    abs(0.14083861-0.14074274)×4.78076613084077e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78076613084077e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78076613084077e-05×40589641000000     		ar = 200352.243630353m²