Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34235 / 24103
↖ ↑ ↗
← N 42.912183°
E  8.058471°		 ← 447.39 m → N 42.912183°
E  8.063965°		 →
↑
447.37 m
↓
↑
447.37 m
↓
N 42.908160°
E  8.058471°		 ← 447.42 m →
200 155 m²		 N 42.908160°
E  8.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522392272949219 y=0.367790222167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522392272949219 × 216)
    floor (0.522392272949219 × 65536)
    floor (34235.5)     		tx = 34235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367790222167969 × 216)
    floor (0.367790222167969 × 65536)
    floor (24103.5)     		ty = 24103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34235 / 24103 ti = "16/34235/24103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34235/24103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34235 ÷ 216
    34235 ÷ 65536     		x = 0.522384643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24103 ÷ 216
    24103 ÷ 65536     		y = 0.367782592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522384643554688 × 2 - 1) × π
    0.044769287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14064686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367782592773438 × 2 - 1) × π
    0.264434814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.830746470415573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14064686} λ = 0.14064686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.830746470415573))-π/2
    2×atan(2.29503127395562)-π/2
    2×1.15987760804473-π/2
    2.31975521608945-1.57079632675     		φ = 0.74895889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14064686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.058471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74895889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.912183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34235 KachelY 24103 0.14064686 0.74895889 8.058471 42.912183
    Oben rechts KachelX + 1 34236 KachelY 24103 0.14074274 0.74895889 8.063965 42.912183
    Unten links KachelX 34235 KachelY + 1 24104 0.14064686 0.74888867 8.058471 42.908160
    Unten rechts KachelX + 1 34236 KachelY + 1 24104 0.14074274 0.74888867 8.063965 42.908160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74895889-0.74888867) × R
    7.02200000000097e-05 × 6371000     		dl = 447.371620000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74895889-0.74888867) × R
    7.02200000000097e-05 × 6371000     		dr = 447.371620000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14064686-0.14074274) × cos(0.74895889) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.73239813313265 × 6371000     		do = 447.386483573282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14064686-0.14074274) × cos(0.74888867) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.732445942483346 × 6371000     		du = 447.415687985913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74895889)-sin(0.74888867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73239813313265-0.732445942483346)×R²
    abs(0.14074274-0.14064686)×4.78093506957045e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78093506957045e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78093506957045e-05×40589641000000     		ar = 200154.548617378m²