Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34234 / 24109
↖ ↑ ↗
← N 42.888040°
E  8.052979°		 ← 447.52 m → N 42.888040°
E  8.058471°		 →
↑
447.56 m
↓
↑
447.56 m
↓
N 42.884015°
E  8.052979°		 ← 447.54 m →
200 298 m²		 N 42.884015°
E  8.058471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522377014160156 y=0.367881774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522377014160156 × 216)
    floor (0.522377014160156 × 65536)
    floor (34234.5)     		tx = 34234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367881774902344 × 216)
    floor (0.367881774902344 × 65536)
    floor (24109.5)     		ty = 24109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34234 / 24109 ti = "16/34234/24109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34234/24109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34234 ÷ 216
    34234 ÷ 65536     		x = 0.522369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24109 ÷ 216
    24109 ÷ 65536     		y = 0.367874145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522369384765625 × 2 - 1) × π
    0.04473876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14055099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367874145507812 × 2 - 1) × π
    0.264251708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.830171227620133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14055099} λ = 0.14055099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.830171227620133))-π/2
    2×atan(2.29371145339499)-π/2
    2×1.15966691341746-π/2
    2.31933382683492-1.57079632675     		φ = 0.74853750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14055099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74853750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.888040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34234 KachelY 24109 0.14055099 0.74853750 8.052979 42.888040
    Oben rechts KachelX + 1 34235 KachelY 24109 0.14064686 0.74853750 8.058471 42.888040
    Unten links KachelX 34234 KachelY + 1 24110 0.14055099 0.74846725 8.052979 42.884015
    Unten rechts KachelX + 1 34235 KachelY + 1 24110 0.14064686 0.74846725 8.058471 42.884015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74853750-0.74846725) × R
    7.02499999999384e-05 × 6371000     		dl = 447.562749999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74853750-0.74846725) × R
    7.02499999999384e-05 × 6371000     		dr = 447.562749999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14055099-0.14064686) × cos(0.74853750) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.732684982698169 × 6371000     		do = 447.515026694823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14055099-0.14064686) × cos(0.74846725) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.732732790787743 × 6371000     		du = 447.544227291242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74853750)-sin(0.74846725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732684982698169-0.732732790787743)×R²
    abs(0.14064686-0.14055099)×4.78080895734978e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.78080895734978e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.78080895734978e-05×40589641000000     		ar = 200297.590645741m²