Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34233 / 21417
↖ ↑ ↗
← N 76.241939°
W 85.976257°		 ← 72.64 m → N 76.241939°
W 85.973511°		 →
↑
72.63 m
↓
↑
72.63 m
↓
N 76.241286°
W 85.976257°		 ← 72.64 m →
5 276 m²		 N 76.241286°
W 85.973511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.261180877685547 y=0.163402557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.261180877685547 × 217)
    floor (0.261180877685547 × 131072)
    floor (34233.5)     		tx = 34233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163402557373047 × 217)
    floor (0.163402557373047 × 131072)
    floor (21417.5)     		ty = 21417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34233 / 21417 ti = "17/34233/21417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34233/21417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34233 ÷ 217
    34233 ÷ 131072     		x = 0.261177062988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21417 ÷ 217
    21417 ÷ 131072     		y = 0.163398742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.261177062988281 × 2 - 1) × π
    -0.477645874023438 × 3.1415926535     		Λ = -1.50056877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163398742675781 × 2 - 1) × π
    0.673202514648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.11492807433726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50056877} λ = -1.50056877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11492807433726))-π/2
    2×atan(8.28898955361088)-π/2
    2×1.45073459551232-π/2
    2.90146919102465-1.57079632675     		φ = 1.33067286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50056877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.976257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33067286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.241939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34233 KachelY 21417 -1.50056877 1.33067286 -85.976257 76.241939
    Oben rechts KachelX + 1 34234 KachelY 21417 -1.50052083 1.33067286 -85.973511 76.241939
    Unten links KachelX 34233 KachelY + 1 21418 -1.50056877 1.33066146 -85.976257 76.241286
    Unten rechts KachelX + 1 34234 KachelY + 1 21418 -1.50052083 1.33066146 -85.973511 76.241286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33067286-1.33066146) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dl = 72.6293999999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33067286-1.33066146) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dr = 72.6293999999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50056877--1.50052083) × cos(1.33067286) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.237822552601571 × 6371000     		do = 72.6371291173125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50056877--1.50052083) × cos(1.33066146) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.237833625504374 × 6371000     		du = 72.6405110668452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33067286)-sin(1.33066146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237822552601571-0.237833625504374)×R²
    abs(-1.50052083--1.50056877)×1.10729028034162e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.10729028034162e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.10729028034162e-05×40589641000000     		ar = 5275.71392003705m²