Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34230 / 21416
↖ ↑ ↗
← N 76.242592°
W 85.984497°		 ← 72.63 m → N 76.242592°
W 85.981750°		 →
↑
72.63 m
↓
↑
72.63 m
↓
N 76.241939°
W 85.984497°		 ← 72.64 m →
5 275 m²		 N 76.241939°
W 85.981750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.261157989501953 y=0.163394927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.261157989501953 × 217)
    floor (0.261157989501953 × 131072)
    floor (34230.5)     		tx = 34230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163394927978516 × 217)
    floor (0.163394927978516 × 131072)
    floor (21416.5)     		ty = 21416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34230 / 21416 ti = "17/34230/21416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34230/21416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34230 ÷ 217
    34230 ÷ 131072     		x = 0.261154174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21416 ÷ 217
    21416 ÷ 131072     		y = 0.16339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.261154174804688 × 2 - 1) × π
    -0.477691650390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.50071258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16339111328125 × 2 - 1) × π
    0.6732177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11497601123688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50071258} λ = -1.50071258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11497601123688))-π/2
    2×atan(8.28938691159505)-π/2
    2×1.45074029561744-π/2
    2.90148059123488-1.57079632675     		φ = 1.33068426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50071258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.984497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33068426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.242592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34230 KachelY 21416 -1.50071258 1.33068426 -85.984497 76.242592
    Oben rechts KachelX + 1 34231 KachelY 21416 -1.50066464 1.33068426 -85.981750 76.242592
    Unten links KachelX 34230 KachelY + 1 21417 -1.50071258 1.33067286 -85.984497 76.241939
    Unten rechts KachelX + 1 34231 KachelY + 1 21417 -1.50066464 1.33067286 -85.981750 76.241939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33068426-1.33067286) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dl = 72.6293999999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33068426-1.33067286) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dr = 72.6293999999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50071258--1.50066464) × cos(1.33068426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23781147966786 × 6371000     		do = 72.6337471580035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50071258--1.50066464) × cos(1.33067286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237822552601571 × 6371000     		du = 72.6371291169761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33068426)-sin(1.33067286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23781147966786-0.237822552601571)×R²
    abs(-1.50066464--1.50071258)×1.1072933710804e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1072933710804e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1072933710804e-05×40589641000000     		ar = 5275.46829074422m²