Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3423 / 931
↖ ↑ ↗
← N 79.912854°
W 29.575196°		 ← 855.86 m → N 79.912854°
W 29.531250°		 →
↑
856.13 m
↓
↑
856.13 m
↓
N 79.905154°
W 29.575196°		 ← 856.51 m →
733 009 m²		 N 79.905154°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41790771484375 y=0.11370849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41790771484375 × 213)
    floor (0.41790771484375 × 8192)
    floor (3423.5)     		tx = 3423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11370849609375 × 213)
    floor (0.11370849609375 × 8192)
    floor (931.5)     		ty = 931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3423 / 931 ti = "13/3423/931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3423/931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3423 ÷ 213
    3423 ÷ 8192     		x = 0.4178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 931 ÷ 213
    931 ÷ 8192     		y = 0.1136474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1136474609375 × 2 - 1) × π
    0.772705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42752459675964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51618454} λ = -0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42752459675964))-π/2
    2×atan(11.330799039259)-π/2
    2×1.48276937068456-π/2
    2.96553874136912-1.57079632675     		φ = 1.39474241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39474241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.912854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3423 KachelY 931 -0.51618454 1.39474241 -29.575196 79.912854
    Oben rechts KachelX + 1 3424 KachelY 931 -0.51541754 1.39474241 -29.531250 79.912854
    Unten links KachelX 3423 KachelY + 1 932 -0.51618454 1.39460803 -29.575196 79.905154
    Unten rechts KachelX + 1 3424 KachelY + 1 932 -0.51541754 1.39460803 -29.531250 79.905154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39474241-1.39460803) × R
    0.00013437999999999 × 6371000     		dl = 856.134979999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39474241-1.39460803) × R
    0.00013437999999999 × 6371000     		dr = 856.134979999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51618454--0.51541754) × cos(1.39474241) × R
    0.000767000000000073 × 0.175145860544723 × 6371000     		do = 855.860230865921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51618454--0.51541754) × cos(1.39460803) × R
    0.000767000000000073 × 0.175278161783622 × 6371000     		du = 856.506728410972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39474241)-sin(1.39460803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175145860544723-0.175278161783622)×R²
    abs(-0.51541754--0.51618454)×0.000132301238899041×R²
    0.000767000000000073×0.000132301238899041×6371000²
    0.000767000000000073×0.000132301238899041×40589641000000     		ar = 733008.627317478m²