Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34228 / 34709
↖ ↑ ↗
← S 10.601220°
E  8.020020°		 ← 600.36 m → S 10.601220°
E  8.025513°		 →
↑
600.40 m
↓
↑
600.40 m
↓
S 10.606620°
E  8.020020°		 ← 600.35 m →
360 456 m²		 S 10.606620°
E  8.025513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522285461425781 y=0.529624938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522285461425781 × 216)
    floor (0.522285461425781 × 65536)
    floor (34228.5)     		tx = 34228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529624938964844 × 216)
    floor (0.529624938964844 × 65536)
    floor (34709.5)     		ty = 34709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34228 / 34709 ti = "16/34228/34709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34228/34709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34228 ÷ 216
    34228 ÷ 65536     		x = 0.52227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34709 ÷ 216
    34709 ÷ 65536     		y = 0.529617309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52227783203125 × 2 - 1) × π
    0.0445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13997575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529617309570312 × 2 - 1) × π
    -0.059234619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.186091044325058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13997575} λ = 0.13997575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186091044325058))-π/2
    2×atan(0.830198006723857)-π/2
    2×0.692885064041175-π/2
    1.38577012808235-1.57079632675     		φ = -0.18502620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13997575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.020020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18502620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.601220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34228 KachelY 34709 0.13997575 -0.18502620 8.020020 -10.601220
    Oben rechts KachelX + 1 34229 KachelY 34709 0.14007162 -0.18502620 8.025513 -10.601220
    Unten links KachelX 34228 KachelY + 1 34710 0.13997575 -0.18512044 8.020020 -10.606620
    Unten rechts KachelX + 1 34229 KachelY + 1 34710 0.14007162 -0.18512044 8.025513 -10.606620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18502620--0.18512044) × R
    9.42399999999954e-05 × 6371000     		dl = 600.403039999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18502620--0.18512044) × R
    9.42399999999954e-05 × 6371000     		dr = 600.403039999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13997575-0.14007162) × cos(-0.18502620) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98293143089369 × 6371000     		do = 600.362496738453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13997575-0.14007162) × cos(-0.18512044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982914088980652 × 6371000     		du = 600.351904510061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18502620)-sin(-0.18512044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98293143089369-0.982914088980652)×R²
    abs(0.14007162-0.13997575)×1.73419130384822e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73419130384822e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73419130384822e-05×40589641000000     		ar = 360456.288607492m²