Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34225 / 36147
↖ ↑ ↗
← S 18.245003°
E  8.003540°		 ← 580.08 m → S 18.245003°
E  8.009033°		 →
↑
580.08 m
↓
↑
580.08 m
↓
S 18.250220°
E  8.003540°		 ← 580.06 m →
336 488 m²		 S 18.250220°
E  8.009033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522239685058594 y=0.551567077636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522239685058594 × 216)
    floor (0.522239685058594 × 65536)
    floor (34225.5)     		tx = 34225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551567077636719 × 216)
    floor (0.551567077636719 × 65536)
    floor (36147.5)     		ty = 36147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34225 / 36147 ti = "16/34225/36147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34225/36147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34225 ÷ 216
    34225 ÷ 65536     		x = 0.522232055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36147 ÷ 216
    36147 ÷ 65536     		y = 0.551559448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522232055664062 × 2 - 1) × π
    0.044464111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13968813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551559448242188 × 2 - 1) × π
    -0.103118896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.323957567632339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13968813} λ = 0.13968813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.323957567632339))-π/2
    2×atan(0.723280932251155)-π/2
    2×0.626180475752759-π/2
    1.25236095150552-1.57079632675     		φ = -0.31843538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13968813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.003540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31843538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.245003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34225 KachelY 36147 0.13968813 -0.31843538 8.003540 -18.245003
    Oben rechts KachelX + 1 34226 KachelY 36147 0.13978400 -0.31843538 8.009033 -18.245003
    Unten links KachelX 34225 KachelY + 1 36148 0.13968813 -0.31852643 8.003540 -18.250220
    Unten rechts KachelX + 1 34226 KachelY + 1 36148 0.13978400 -0.31852643 8.009033 -18.250220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31843538--0.31852643) × R
    9.10500000000369e-05 × 6371000     		dl = 580.079550000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31843538--0.31852643) × R
    9.10500000000369e-05 × 6371000     		dr = 580.079550000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13968813-0.13978400) × cos(-0.31843538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949726433132821 × 6371000     		do = 580.081290203237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13968813-0.13978400) × cos(-0.31852643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949697923172651 × 6371000     		du = 580.063876668242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31843538)-sin(-0.31852643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949726433132821-0.949697923172651)×R²
    abs(0.13978400-0.13968813)×2.8509960170009e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8509960170009e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8509960170009e-05×40589641000000     		ar = 336488.243399491m²