Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34221 / 36319
↖ ↑ ↗
← S 19.139979°
E  7.981567°		 ← 577.02 m → S 19.139979°
E  7.987060°		 →
↑
577.02 m
↓
↑
577.02 m
↓
S 19.145168°
E  7.981567°		 ← 577.01 m →
332 950 m²		 S 19.145168°
E  7.987060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522178649902344 y=0.554191589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522178649902344 × 216)
    floor (0.522178649902344 × 65536)
    floor (34221.5)     		tx = 34221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554191589355469 × 216)
    floor (0.554191589355469 × 65536)
    floor (36319.5)     		ty = 36319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34221 / 36319 ti = "16/34221/36319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34221/36319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34221 ÷ 216
    34221 ÷ 65536     		x = 0.522171020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36319 ÷ 216
    36319 ÷ 65536     		y = 0.554183959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522171020507812 × 2 - 1) × π
    0.044342041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13930463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554183959960938 × 2 - 1) × π
    -0.108367919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.340447861101639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13930463} λ = 0.13930463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340447861101639))-π/2
    2×atan(0.711451619894379)-π/2
    2×0.618370339219425-π/2
    1.23674067843885-1.57079632675     		φ = -0.33405565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13930463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.981567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33405565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.139979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34221 KachelY 36319 0.13930463 -0.33405565 7.981567 -19.139979
    Oben rechts KachelX + 1 34222 KachelY 36319 0.13940050 -0.33405565 7.987060 -19.139979
    Unten links KachelX 34221 KachelY + 1 36320 0.13930463 -0.33414622 7.981567 -19.145168
    Unten rechts KachelX + 1 34222 KachelY + 1 36320 0.13940050 -0.33414622 7.987060 -19.145168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33405565--0.33414622) × R
    9.0570000000012e-05 × 6371000     		dl = 577.021470000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33405565--0.33414622) × R
    9.0570000000012e-05 × 6371000     		dr = 577.021470000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13930463-0.13940050) × cos(-0.33405565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944720361640994 × 6371000     		do = 577.023642960284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13930463-0.13940050) × cos(-0.33414622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944690661931055 × 6371000     		du = 577.005502740681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33405565)-sin(-0.33414622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944720361640994-0.944690661931055)×R²
    abs(0.13940050-0.13930463)×2.96997099390461e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96997099390461e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96997099390461e-05×40589641000000     		ar = 332949.797265342m²