Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34221 / 22061
↖ ↑ ↗
← N 50.579749°
E  7.981567°		 ← 387.85 m → N 50.579749°
E  7.987060°		 →
↑
387.93 m
↓
↑
387.93 m
↓
N 50.576260°
E  7.981567°		 ← 387.88 m →
150 465 m²		 N 50.576260°
E  7.987060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522178649902344 y=0.336631774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522178649902344 × 216)
    floor (0.522178649902344 × 65536)
    floor (34221.5)     		tx = 34221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336631774902344 × 216)
    floor (0.336631774902344 × 65536)
    floor (22061.5)     		ty = 22061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34221 / 22061 ti = "16/34221/22061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34221/22061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34221 ÷ 216
    34221 ÷ 65536     		x = 0.522171020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22061 ÷ 216
    22061 ÷ 65536     		y = 0.336624145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522171020507812 × 2 - 1) × π
    0.044342041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13930463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336624145507812 × 2 - 1) × π
    0.326751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02652076846388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13930463} λ = 0.13930463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02652076846388))-π/2
    2×atan(2.7913372119915)-π/2
    2×1.22678973703342-π/2
    2.45357947406684-1.57079632675     		φ = 0.88278315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13930463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.981567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88278315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.579749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34221 KachelY 22061 0.13930463 0.88278315 7.981567 50.579749
    Oben rechts KachelX + 1 34222 KachelY 22061 0.13940050 0.88278315 7.987060 50.579749
    Unten links KachelX 34221 KachelY + 1 22062 0.13930463 0.88272226 7.981567 50.576260
    Unten rechts KachelX + 1 34222 KachelY + 1 22062 0.13940050 0.88272226 7.987060 50.576260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88278315-0.88272226) × R
    6.08899999999801e-05 × 6371000     		dl = 387.930189999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88278315-0.88272226) × R
    6.08899999999801e-05 × 6371000     		dr = 387.930189999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13930463-0.13940050) × cos(0.88278315) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635003597396493 × 6371000     		do = 387.852431195773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13930463-0.13940050) × cos(0.88272226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635050634303192 × 6371000     		du = 387.881160763124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88278315)-sin(0.88272226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635003597396493-0.635050634303192)×R²
    abs(0.13940050-0.13930463)×4.70369066994936e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70369066994936e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70369066994936e-05×40589641000000     		ar = 150465.239905702m²