Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34221 / 21849
↖ ↑ ↗
← N 51.313447°
E  7.981567°		 ← 381.78 m → N 51.313447°
E  7.987060°		 →
↑
381.81 m
↓
↑
381.81 m
↓
N 51.310013°
E  7.981567°		 ← 381.81 m →
145 774 m²		 N 51.310013°
E  7.987060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522178649902344 y=0.333396911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522178649902344 × 216)
    floor (0.522178649902344 × 65536)
    floor (34221.5)     		tx = 34221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333396911621094 × 216)
    floor (0.333396911621094 × 65536)
    floor (21849.5)     		ty = 21849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34221 / 21849 ti = "16/34221/21849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34221/21849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34221 ÷ 216
    34221 ÷ 65536     		x = 0.522171020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21849 ÷ 216
    21849 ÷ 65536     		y = 0.333389282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522171020507812 × 2 - 1) × π
    0.044342041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13930463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333389282226562 × 2 - 1) × π
    0.333221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04684601390279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13930463} λ = 0.13930463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04684601390279))-π/2
    2×atan(2.84865232466047)-π/2
    2×1.23319246441999-π/2
    2.46638492883997-1.57079632675     		φ = 0.89558860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13930463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.981567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89558860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.313447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34221 KachelY 21849 0.13930463 0.89558860 7.981567 51.313447
    Oben rechts KachelX + 1 34222 KachelY 21849 0.13940050 0.89558860 7.987060 51.313447
    Unten links KachelX 34221 KachelY + 1 21850 0.13930463 0.89552867 7.981567 51.310013
    Unten rechts KachelX + 1 34222 KachelY + 1 21850 0.13940050 0.89552867 7.987060 51.310013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89558860-0.89552867) × R
    5.99299999999303e-05 × 6371000     		dl = 381.814029999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89558860-0.89552867) × R
    5.99299999999303e-05 × 6371000     		dr = 381.814029999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13930463-0.13940050) × cos(0.89558860) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625059476996955 × 6371000     		do = 381.778684072328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13930463-0.13940050) × cos(0.89552867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625106255861627 × 6371000     		du = 381.807256030764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89558860)-sin(0.89552867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625059476996955-0.625106255861627)×R²
    abs(0.13940050-0.13930463)×4.67788646720813e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67788646720813e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67788646720813e-05×40589641000000     		ar = 145773.91256417m²