Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3422 / 745
↖ ↑ ↗
← N 81.248348°
W 29.619141°		 ← 743.49 m → N 81.248348°
W 29.575196°		 →
↑
743.75 m
↓
↑
743.75 m
↓
N 81.241660°
W 29.619141°		 ← 744.05 m →
553 180 m²		 N 81.241660°
W 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41778564453125 y=0.09100341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41778564453125 × 213)
    floor (0.41778564453125 × 8192)
    floor (3422.5)     		tx = 3422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09100341796875 × 213)
    floor (0.09100341796875 × 8192)
    floor (745.5)     		ty = 745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3422 / 745 ti = "13/3422/745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3422/745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3422 ÷ 213
    3422 ÷ 8192     		x = 0.417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 745 ÷ 213
    745 ÷ 8192     		y = 0.0909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0909423828125 × 2 - 1) × π
    0.818115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57018481002893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51695153} λ = -0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57018481002893))-π/2
    2×atan(13.0682393594712)-π/2
    2×1.49442375970572-π/2
    2.98884751941144-1.57079632675     		φ = 1.41805119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41805119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.248348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3422 KachelY 745 -0.51695153 1.41805119 -29.619141 81.248348
    Oben rechts KachelX + 1 3423 KachelY 745 -0.51618454 1.41805119 -29.575196 81.248348
    Unten links KachelX 3422 KachelY + 1 746 -0.51695153 1.41793445 -29.619141 81.241660
    Unten rechts KachelX + 1 3423 KachelY + 1 746 -0.51618454 1.41793445 -29.575196 81.241660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41805119-1.41793445) × R
    0.000116739999999949 × 6371000     		dl = 743.750539999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41805119-1.41793445) × R
    0.000116739999999949 × 6371000     		dr = 743.750539999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51695153--0.51618454) × cos(1.41805119) × R
    0.000766990000000023 × 0.152151877866504 × 6371000     		do = 743.489130255593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51695153--0.51618454) × cos(1.41793445) × R
    0.000766990000000023 × 0.152267257640206 × 6371000     		du = 744.052932745589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41805119)-sin(1.41793445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152151877866504-0.152267257640206)×R²
    abs(-0.51618454--0.51695153)×0.000115379773702018×R²
    0.000766990000000023×0.000115379773702018×6371000²
    0.000766990000000023×0.000115379773702018×40589641000000     		ar = 553180.106944533m²