Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34219 / 21861
↖ ↑ ↗
← N 51.272226°
E  7.970581°		 ← 382.16 m → N 51.272226°
E  7.976074°		 →
↑
382.20 m
↓
↑
382.20 m
↓
N 51.268789°
E  7.970581°		 ← 382.19 m →
146 066 m²		 N 51.268789°
E  7.976074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522148132324219 y=0.333580017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522148132324219 × 216)
    floor (0.522148132324219 × 65536)
    floor (34219.5)     		tx = 34219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333580017089844 × 216)
    floor (0.333580017089844 × 65536)
    floor (21861.5)     		ty = 21861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34219 / 21861 ti = "16/34219/21861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34219/21861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34219 ÷ 216
    34219 ÷ 65536     		x = 0.522140502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21861 ÷ 216
    21861 ÷ 65536     		y = 0.333572387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522140502929688 × 2 - 1) × π
    0.044281005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13911288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333572387695312 × 2 - 1) × π
    0.332855224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0456955283119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13911288} λ = 0.13911288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0456955283119))-π/2
    2×atan(2.84537687574719)-π/2
    2×1.23283274199217-π/2
    2.46566548398434-1.57079632675     		φ = 0.89486916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13911288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.970581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89486916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.272226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34219 KachelY 21861 0.13911288 0.89486916 7.970581 51.272226
    Oben rechts KachelX + 1 34220 KachelY 21861 0.13920876 0.89486916 7.976074 51.272226
    Unten links KachelX 34219 KachelY + 1 21862 0.13911288 0.89480917 7.970581 51.268789
    Unten rechts KachelX + 1 34220 KachelY + 1 21862 0.13920876 0.89480917 7.976074 51.268789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89486916-0.89480917) × R
    5.99900000000098e-05 × 6371000     		dl = 382.196290000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89486916-0.89480917) × R
    5.99900000000098e-05 × 6371000     		dr = 382.196290000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13911288-0.13920876) × cos(0.89486916) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.625620893592824 × 6371000     		do = 382.16144877007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13911288-0.13920876) × cos(0.89480917) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.625667692299678 × 6371000     		du = 382.190035829413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89486916)-sin(0.89480917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625620893592824-0.625667692299678)×R²
    abs(0.13920876-0.13911288)×4.67987068539788e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67987068539788e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67987068539788e-05×40589641000000     		ar = 146066.150878849m²