Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34217 / 36279
↖ ↑ ↗
← S 18.932268°
E  7.959595°		 ← 577.75 m → S 18.932268°
E  7.965088°		 →
↑
577.79 m
↓
↑
577.79 m
↓
S 18.937465°
E  7.959595°		 ← 577.73 m →
333 808 m²		 S 18.937465°
E  7.965088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522117614746094 y=0.553581237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522117614746094 × 216)
    floor (0.522117614746094 × 65536)
    floor (34217.5)     		tx = 34217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553581237792969 × 216)
    floor (0.553581237792969 × 65536)
    floor (36279.5)     		ty = 36279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34217 / 36279 ti = "16/34217/36279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34217/36279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34217 ÷ 216
    34217 ÷ 65536     		x = 0.522109985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36279 ÷ 216
    36279 ÷ 65536     		y = 0.553573608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522109985351562 × 2 - 1) × π
    0.044219970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13892114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553573608398438 × 2 - 1) × π
    -0.107147216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.336612909132034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13892114} λ = 0.13892114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.336612909132034))-π/2
    2×atan(0.714185240987923)-π/2
    2×0.6201829532051-π/2
    1.2403659064102-1.57079632675     		φ = -0.33043042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13892114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.959595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33043042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.932268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34217 KachelY 36279 0.13892114 -0.33043042 7.959595 -18.932268
    Oben rechts KachelX + 1 34218 KachelY 36279 0.13901701 -0.33043042 7.965088 -18.932268
    Unten links KachelX 34217 KachelY + 1 36280 0.13892114 -0.33052111 7.959595 -18.937465
    Unten rechts KachelX + 1 34218 KachelY + 1 36280 0.13901701 -0.33052111 7.965088 -18.937465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33043042--0.33052111) × R
    9.06900000000044e-05 × 6371000     		dl = 577.785990000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33043042--0.33052111) × R
    9.06900000000044e-05 × 6371000     		dr = 577.785990000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13892114-0.13901701) × cos(-0.33043042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94590278129986 × 6371000     		do = 577.745850426926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13892114-0.13901701) × cos(-0.33052111) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945873353021942 × 6371000     		du = 577.727875994682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33043042)-sin(-0.33052111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94590278129986-0.945873353021942)×R²
    abs(0.13901701-0.13892114)×2.94282779175203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94282779175203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94282779175203e-05×40589641000000     		ar = 333808.265698683m²