Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34216 / 36321
↖ ↑ ↗
← S 19.150357°
E  7.954101°		 ← 577.05 m → S 19.150357°
E  7.959595°		 →
↑
577.02 m
↓
↑
577.02 m
↓
S 19.155547°
E  7.954101°		 ← 577.03 m →
332 964 m²		 S 19.155547°
E  7.959595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522102355957031 y=0.554222106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522102355957031 × 216)
    floor (0.522102355957031 × 65536)
    floor (34216.5)     		tx = 34216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554222106933594 × 216)
    floor (0.554222106933594 × 65536)
    floor (36321.5)     		ty = 36321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34216 / 36321 ti = "16/34216/36321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34216/36321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34216 ÷ 216
    34216 ÷ 65536     		x = 0.5220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36321 ÷ 216
    36321 ÷ 65536     		y = 0.554214477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5220947265625 × 2 - 1) × π
    0.044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13882526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554214477539062 × 2 - 1) × π
    -0.108428955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.340639608700119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13882526} λ = 0.13882526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340639608700119))-π/2
    2×atan(0.711315213833015)-π/2
    2×0.618279768136695-π/2
    1.23655953627339-1.57079632675     		φ = -0.33423679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13882526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.954101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33423679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.150357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34216 KachelY 36321 0.13882526 -0.33423679 7.954101 -19.150357
    Oben rechts KachelX + 1 34217 KachelY 36321 0.13892114 -0.33423679 7.959595 -19.150357
    Unten links KachelX 34216 KachelY + 1 36322 0.13882526 -0.33432736 7.954101 -19.155547
    Unten rechts KachelX + 1 34217 KachelY + 1 36322 0.13892114 -0.33432736 7.959595 -19.155547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33423679--0.33432736) × R
    9.0570000000012e-05 × 6371000     		dl = 577.021470000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33423679--0.33432736) × R
    9.0570000000012e-05 × 6371000     		dr = 577.021470000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13882526-0.13892114) × cos(-0.33423679) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.94466095447189 × 6371000     		do = 577.047542137322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13882526-0.13892114) × cos(-0.33432736) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.944631239263741 × 6371000     		du = 577.029390558446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33423679)-sin(-0.33432736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94466095447189-0.944631239263741)×R²
    abs(0.13892114-0.13882526)×2.97152081485397e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.97152081485397e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.97152081485397e-05×40589641000000     		ar = 332963.584326134m²