Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34215 / 21722
↖ ↑ ↗
← N 51.747438°
E  7.948609°		 ← 378.16 m → N 51.747438°
E  7.954101°		 →
↑
378.18 m
↓
↑
378.18 m
↓
N 51.744037°
E  7.948609°		 ← 378.18 m →
143 018 m²		 N 51.744037°
E  7.954101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522087097167969 y=0.331459045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522087097167969 × 216)
    floor (0.522087097167969 × 65536)
    floor (34215.5)     		tx = 34215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331459045410156 × 216)
    floor (0.331459045410156 × 65536)
    floor (21722.5)     		ty = 21722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34215 / 21722 ti = "16/34215/21722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34215/21722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34215 ÷ 216
    34215 ÷ 65536     		x = 0.522079467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21722 ÷ 216
    21722 ÷ 65536     		y = 0.331451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522079467773438 × 2 - 1) × π
    0.044158935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13872939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331451416015625 × 2 - 1) × π
    0.33709716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05902198640628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13872939} λ = 0.13872939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05902198640628))-π/2
    2×atan(2.88354945917623)-π/2
    2×1.23697975518194-π/2
    2.47395951036388-1.57079632675     		φ = 0.90316318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13872939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.948609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90316318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.747438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34215 KachelY 21722 0.13872939 0.90316318 7.948609 51.747438
    Oben rechts KachelX + 1 34216 KachelY 21722 0.13882526 0.90316318 7.954101 51.747438
    Unten links KachelX 34215 KachelY + 1 21723 0.13872939 0.90310382 7.948609 51.744037
    Unten rechts KachelX + 1 34216 KachelY + 1 21723 0.13882526 0.90310382 7.954101 51.744037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90316318-0.90310382) × R
    5.93599999999528e-05 × 6371000     		dl = 378.182559999699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90316318-0.90310382) × R
    5.93599999999528e-05 × 6371000     		dr = 378.182559999699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13872939-0.13882526) × cos(0.90316318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.619129058567464 × 6371000     		do = 378.156457024612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13872939-0.13882526) × cos(0.90310382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.619175672246633 × 6371000     		du = 378.184928089763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90316318)-sin(0.90310382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619129058567464-0.619175672246633)×R²
    abs(0.13882526-0.13872939)×4.66136791690275e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66136791690275e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66136791690275e-05×40589641000000     		ar = 143017.560669984m²