Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34214 / 36315
↖ ↑ ↗
← S 19.119219°
E  7.943115°		 ← 577.16 m → S 19.119219°
E  7.948609°		 →
↑
577.09 m
↓
↑
577.09 m
↓
S 19.124409°
E  7.943115°		 ← 577.14 m →
333 063 m²		 S 19.124409°
E  7.948609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522071838378906 y=0.554130554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522071838378906 × 216)
    floor (0.522071838378906 × 65536)
    floor (34214.5)     		tx = 34214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554130554199219 × 216)
    floor (0.554130554199219 × 65536)
    floor (36315.5)     		ty = 36315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34214 / 36315 ti = "16/34214/36315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34214/36315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34214 ÷ 216
    34214 ÷ 65536     		x = 0.522064208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36315 ÷ 216
    36315 ÷ 65536     		y = 0.554122924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522064208984375 × 2 - 1) × π
    0.04412841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13863351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554122924804688 × 2 - 1) × π
    -0.108245849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.340064365904678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13863351} λ = 0.13863351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340064365904678))-π/2
    2×atan(0.711724510496252)-π/2
    2×0.618551498465327-π/2
    1.23710299693065-1.57079632675     		φ = -0.33369333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13863351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.943115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33369333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.119219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34214 KachelY 36315 0.13863351 -0.33369333 7.943115 -19.119219
    Oben rechts KachelX + 1 34215 KachelY 36315 0.13872939 -0.33369333 7.948609 -19.119219
    Unten links KachelX 34214 KachelY + 1 36316 0.13863351 -0.33378391 7.943115 -19.124409
    Unten rechts KachelX + 1 34215 KachelY + 1 36316 0.13872939 -0.33378391 7.948609 -19.124409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33369333--0.33378391) × R
    9.05800000000068e-05 × 6371000     		dl = 577.085180000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33369333--0.33378391) × R
    9.05800000000068e-05 × 6371000     		dr = 577.085180000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13863351-0.13872939) × cos(-0.33369333) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.944839096085009 × 6371000     		do = 577.156360205512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13863351-0.13872939) × cos(-0.33378391) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.94480942410163 × 6371000     		du = 577.138235030551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33369333)-sin(-0.33378391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944839096085009-0.94480942410163)×R²
    abs(0.13872939-0.13863351)×2.96719833786652e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.96719833786652e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.96719833786652e-05×40589641000000     		ar = 333063.152360101m²