Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34211 / 21689
↖ ↑ ↗
← N 51.859531°
E  7.926636°		 ← 377.26 m → N 51.859531°
E  7.932129°		 →
↑
377.23 m
↓
↑
377.23 m
↓
N 51.856139°
E  7.926636°		 ← 377.29 m →
142 317 m²		 N 51.856139°
E  7.932129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522026062011719 y=0.330955505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522026062011719 × 216)
    floor (0.522026062011719 × 65536)
    floor (34211.5)     		tx = 34211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330955505371094 × 216)
    floor (0.330955505371094 × 65536)
    floor (21689.5)     		ty = 21689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34211 / 21689 ti = "16/34211/21689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34211/21689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34211 ÷ 216
    34211 ÷ 65536     		x = 0.522018432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21689 ÷ 216
    21689 ÷ 65536     		y = 0.330947875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522018432617188 × 2 - 1) × π
    0.044036865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13834589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330947875976562 × 2 - 1) × π
    0.338104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0621858217812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13834589} λ = 0.13834589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0621858217812))-π/2
    2×atan(2.89268698214762)-π/2
    2×1.23795795008243-π/2
    2.47591590016486-1.57079632675     		φ = 0.90511957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13834589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.926636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90511957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.859531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34211 KachelY 21689 0.13834589 0.90511957 7.926636 51.859531
    Oben rechts KachelX + 1 34212 KachelY 21689 0.13844177 0.90511957 7.932129 51.859531
    Unten links KachelX 34211 KachelY + 1 21690 0.13834589 0.90506036 7.926636 51.856139
    Unten rechts KachelX + 1 34212 KachelY + 1 21690 0.13844177 0.90506036 7.932129 51.856139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90511957-0.90506036) × R
    5.92099999999762e-05 × 6371000     		dl = 377.226909999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90511957-0.90506036) × R
    5.92099999999762e-05 × 6371000     		dr = 377.226909999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13834589-0.13844177) × cos(0.90511957) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.617591542662327 × 6371000     		do = 377.256707870737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13834589-0.13844177) × cos(0.90506036) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.617638110185861 × 6371000     		du = 377.285153711408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90511957)-sin(0.90506036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617591542662327-0.617638110185861)×R²
    abs(0.13844177-0.13834589)×4.65675235341578e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.65675235341578e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.65675235341578e-05×40589641000000     		ar = 142316.747496765m²