Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34209 / 34781
↖ ↑ ↗
← S 10.989728°
E  7.915649°		 ← 599.65 m → S 10.989728°
E  7.921143°		 →
↑
599.64 m
↓
↑
599.64 m
↓
S 10.995120°
E  7.915649°		 ← 599.64 m →
359 570 m²		 S 10.995120°
E  7.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521995544433594 y=0.530723571777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521995544433594 × 216)
    floor (0.521995544433594 × 65536)
    floor (34209.5)     		tx = 34209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530723571777344 × 216)
    floor (0.530723571777344 × 65536)
    floor (34781.5)     		ty = 34781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34209 / 34781 ti = "16/34209/34781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34209/34781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34209 ÷ 216
    34209 ÷ 65536     		x = 0.521987915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34781 ÷ 216
    34781 ÷ 65536     		y = 0.530715942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521987915039062 × 2 - 1) × π
    0.043975830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13815414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530715942382812 × 2 - 1) × π
    -0.061431884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.192993957870346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13815414} λ = 0.13815414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192993957870346))-π/2
    2×atan(0.824486955781143)-π/2
    2×0.689494697946284-π/2
    1.37898939589257-1.57079632675     		φ = -0.19180693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13815414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.915649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19180693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.989728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34209 KachelY 34781 0.13815414 -0.19180693 7.915649 -10.989728
    Oben rechts KachelX + 1 34210 KachelY 34781 0.13825002 -0.19180693 7.921143 -10.989728
    Unten links KachelX 34209 KachelY + 1 34782 0.13815414 -0.19190105 7.915649 -10.995120
    Unten rechts KachelX + 1 34210 KachelY + 1 34782 0.13825002 -0.19190105 7.921143 -10.995120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19180693--0.19190105) × R
    9.41200000000031e-05 × 6371000     		dl = 599.63852000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19180693--0.19190105) × R
    9.41200000000031e-05 × 6371000     		dr = 599.63852000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13815414-0.13825002) × cos(-0.19180693) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.981661377380344 × 6371000     		do = 599.649305231575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13815414-0.13825002) × cos(-0.19190105) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.981643430654481 × 6371000     		du = 599.638342447521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19180693)-sin(-0.19190105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981661377380344-0.981643430654481)×R²
    abs(0.13825002-0.13815414)×1.79467258629717e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.79467258629717e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.79467258629717e-05×40589641000000     		ar = 359569.535319696m²