Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34207 / 34273
↖ ↑ ↗
← S  8.238674°
E  7.904663°		 ← 604.48 m → S  8.238674°
E  7.910156°		 →
↑
604.48 m
↓
↑
604.48 m
↓
S  8.244110°
E  7.904663°		 ← 604.48 m →
365 396 m²		 S  8.244110°
E  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521965026855469 y=0.522972106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521965026855469 × 216)
    floor (0.521965026855469 × 65536)
    floor (34207.5)     		tx = 34207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522972106933594 × 216)
    floor (0.522972106933594 × 65536)
    floor (34273.5)     		ty = 34273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34207 / 34273 ti = "16/34207/34273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34207/34273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34207 ÷ 216
    34207 ÷ 65536     		x = 0.521957397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34273 ÷ 216
    34273 ÷ 65536     		y = 0.522964477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521957397460938 × 2 - 1) × π
    0.043914794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13796240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522964477539062 × 2 - 1) × π
    -0.045928955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.144290067856369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13796240} λ = 0.13796240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144290067856369))-π/2
    2×atan(0.865636618280368)-π/2
    2×0.713502173051063-π/2
    1.42700434610213-1.57079632675     		φ = -0.14379198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13796240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.904663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14379198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.238674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34207 KachelY 34273 0.13796240 -0.14379198 7.904663 -8.238674
    Oben rechts KachelX + 1 34208 KachelY 34273 0.13805827 -0.14379198 7.910156 -8.238674
    Unten links KachelX 34207 KachelY + 1 34274 0.13796240 -0.14388686 7.904663 -8.244110
    Unten rechts KachelX + 1 34208 KachelY + 1 34274 0.13805827 -0.14388686 7.910156 -8.244110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14379198--0.14388686) × R
    9.48799999999916e-05 × 6371000     		dl = 604.480479999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14379198--0.14388686) × R
    9.48799999999916e-05 × 6371000     		dr = 604.480479999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13796240-0.13805827) × cos(-0.14379198) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989679733575888 × 6371000     		do = 604.484277484998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13796240-0.13805827) × cos(-0.14388686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989666133103635 × 6371000     		du = 604.475970482879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14379198)-sin(-0.14388686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989679733575888-0.989666133103635)×R²
    abs(0.13805827-0.13796240)×1.36004722528504e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36004722528504e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36004722528504e-05×40589641000000     		ar = 365396.435770376m²