Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34206 / 36279
↖ ↑ ↗
← S 18.932268°
E  7.899170°		 ← 577.81 m → S 18.932268°
E  7.904663°		 →
↑
577.79 m
↓
↑
577.79 m
↓
S 18.937465°
E  7.899170°		 ← 577.79 m →
333 843 m²		 S 18.937465°
E  7.904663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521949768066406 y=0.553581237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521949768066406 × 216)
    floor (0.521949768066406 × 65536)
    floor (34206.5)     		tx = 34206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553581237792969 × 216)
    floor (0.553581237792969 × 65536)
    floor (36279.5)     		ty = 36279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34206 / 36279 ti = "16/34206/36279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34206/36279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34206 ÷ 216
    34206 ÷ 65536     		x = 0.521942138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36279 ÷ 216
    36279 ÷ 65536     		y = 0.553573608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521942138671875 × 2 - 1) × π
    0.04388427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13786652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553573608398438 × 2 - 1) × π
    -0.107147216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.336612909132034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13786652} λ = 0.13786652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.336612909132034))-π/2
    2×atan(0.714185240987923)-π/2
    2×0.6201829532051-π/2
    1.2403659064102-1.57079632675     		φ = -0.33043042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13786652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.899170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33043042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.932268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34206 KachelY 36279 0.13786652 -0.33043042 7.899170 -18.932268
    Oben rechts KachelX + 1 34207 KachelY 36279 0.13796240 -0.33043042 7.904663 -18.932268
    Unten links KachelX 34206 KachelY + 1 36280 0.13786652 -0.33052111 7.899170 -18.937465
    Unten rechts KachelX + 1 34207 KachelY + 1 36280 0.13796240 -0.33052111 7.904663 -18.937465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33043042--0.33052111) × R
    9.06900000000044e-05 × 6371000     		dl = 577.785990000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33043042--0.33052111) × R
    9.06900000000044e-05 × 6371000     		dr = 577.785990000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13786652-0.13796240) × cos(-0.33043042) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.94590278129986 × 6371000     		do = 577.806113893259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13786652-0.13796240) × cos(-0.33052111) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.945873353021942 × 6371000     		du = 577.788137586139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33043042)-sin(-0.33052111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94590278129986-0.945873353021942)×R²
    abs(0.13796240-0.13786652)×2.94282779175203e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.94282779175203e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.94282779175203e-05×40589641000000     		ar = 333843.084543624m²