Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34206 / 21850
↖ ↑ ↗
← N 51.310013°
E  7.899170°		 ← 381.85 m → N 51.310013°
E  7.904663°		 →
↑
381.81 m
↓
↑
381.81 m
↓
N 51.306579°
E  7.899170°		 ← 381.88 m →
145 800 m²		 N 51.306579°
E  7.904663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521949768066406 y=0.333412170410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521949768066406 × 216)
    floor (0.521949768066406 × 65536)
    floor (34206.5)     		tx = 34206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333412170410156 × 216)
    floor (0.333412170410156 × 65536)
    floor (21850.5)     		ty = 21850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34206 / 21850 ti = "16/34206/21850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34206/21850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34206 ÷ 216
    34206 ÷ 65536     		x = 0.521942138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21850 ÷ 216
    21850 ÷ 65536     		y = 0.333404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521942138671875 × 2 - 1) × π
    0.04388427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13786652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333404541015625 × 2 - 1) × π
    0.33319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04675014010355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13786652} λ = 0.13786652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04675014010355))-π/2
    2×atan(2.84837922663107)-π/2
    2×1.23316249988546-π/2
    2.46632499977093-1.57079632675     		φ = 0.89552867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13786652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.899170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89552867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.310013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34206 KachelY 21850 0.13786652 0.89552867 7.899170 51.310013
    Oben rechts KachelX + 1 34207 KachelY 21850 0.13796240 0.89552867 7.904663 51.310013
    Unten links KachelX 34206 KachelY + 1 21851 0.13786652 0.89546874 7.899170 51.306579
    Unten rechts KachelX + 1 34207 KachelY + 1 21851 0.13796240 0.89546874 7.904663 51.306579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89552867-0.89546874) × R
    5.99300000000413e-05 × 6371000     		dl = 381.814030000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89552867-0.89546874) × R
    5.99300000000413e-05 × 6371000     		dr = 381.814030000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13786652-0.13796240) × cos(0.89552867) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.625106255861627 × 6371000     		do = 381.847081550415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13786652-0.13796240) × cos(0.89546874) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.625153032481164 × 6371000     		du = 381.875655117688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89552867)-sin(0.89546874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625106255861627-0.625153032481164)×R²
    abs(0.13796240-0.13786652)×4.67766195375585e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.67766195375585e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.67766195375585e-05×40589641000000     		ar = 145800.027988893m²