Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34204 / 34796
↖ ↑ ↗
← S 11.070603°
E  7.888184°		 ← 599.42 m → S 11.070603°
E  7.893677°		 →
↑
599.45 m
↓
↑
599.45 m
↓
S 11.075994°
E  7.888184°		 ← 599.41 m →
359 319 m²		 S 11.075994°
E  7.893677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521919250488281 y=0.530952453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521919250488281 × 216)
    floor (0.521919250488281 × 65536)
    floor (34204.5)     		tx = 34204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530952453613281 × 216)
    floor (0.530952453613281 × 65536)
    floor (34796.5)     		ty = 34796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34204 / 34796 ti = "16/34204/34796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34204/34796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34204 ÷ 216
    34204 ÷ 65536     		x = 0.52191162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34796 ÷ 216
    34796 ÷ 65536     		y = 0.53094482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52191162109375 × 2 - 1) × π
    0.0438232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13767478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53094482421875 × 2 - 1) × π
    -0.0618896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.194432064858948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13767478} λ = 0.13767478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194432064858948))-π/2
    2×atan(0.823302107501523)-π/2
    2×0.68878892788528-π/2
    1.37757785577056-1.57079632675     		φ = -0.19321847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13767478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.888184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19321847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.070603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34204 KachelY 34796 0.13767478 -0.19321847 7.888184 -11.070603
    Oben rechts KachelX + 1 34205 KachelY 34796 0.13777065 -0.19321847 7.893677 -11.070603
    Unten links KachelX 34204 KachelY + 1 34797 0.13767478 -0.19331256 7.888184 -11.075994
    Unten rechts KachelX + 1 34205 KachelY + 1 34797 0.13777065 -0.19331256 7.893677 -11.075994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19321847--0.19331256) × R
    9.40899999999911e-05 × 6371000     		dl = 599.447389999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19321847--0.19331256) × R
    9.40899999999911e-05 × 6371000     		dr = 599.447389999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13767478-0.13777065) × cos(-0.19321847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981391313413767 × 6371000     		do = 599.421811817352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13767478-0.13777065) × cos(-0.19331256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981373242052559 × 6371000     		du = 599.41077405094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19321847)-sin(-0.19331256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981391313413767-0.981373242052559)×R²
    abs(0.13777065-0.13767478)×1.80713612071282e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80713612071282e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80713612071282e-05×40589641000000     		ar = 359318.532587967m²